Forme bilinéaire

.................................................................. 6 A. Complexes. Polynômes .................................................... 6 B. Algèbre linéaire ............................................................... 9 C. Algèbre bilinéaire .......................................................... 16 Analyse ................................................................................... 18 A. Suites et séries .............................................................. 18 B

admet pour limite l en x0 . On note : lim+ f (x) = l . x→x0 • f admet une limite à gauche l en x0 si la restriction de f à I ∩ ] − ∞,x0 [ admet pour limite l en x0 . On note : lim− f (x) = l . x→x0 • Si f est définie sur un intervalle de la forme ]x0 − a,x0 + a[, sauf en x0 , alors : x→x0 lim f (x) = l ⇐⇒ − x→x0 lim f (x) = lim+ f (x) = l . x→x0 Si f est définie en x0 , ces deux limites doivent aussi être égales à f (x0 ). 1.3 Limite infinie en x0 ∀A > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈

précédent introduire une transformation d’un élément ek vers un élément de référence. Cet élément de référence est le triangle rectangle unité dans le plan de référence (ξ, η) (figure 5.6). interpolation sur l’élément de référence et fonctions de forme Cette transformation T k est une transformation affine :  ⇐⇒ e ˆ  ek ξ x Tk ⇐⇒  η y ξ η = a11 a21 a12 a22 x y + b1 b2 Les 6 coefficients de la transformation sont déterminés par les conditions de transˆ

ces effets. Principe général : les effets des actions doivent être inférieurs aux résistances des matériaux. Nota Compte tenu des incertitudes sur les actions appliquées et les résistances des matériaux, on introduit des marges de sécurité, sous forme de coefficients de sécurité ou de pondération. dans lesquelles, à la valeur caractéristique d’une action dite de base, s’ajoutent des valeurs caractéristiques minorées d’autres actions dites d’accompagnement. Des coefficients de sécurité minorateurs

sait que 2− · − = − + − 2 − − 2 − − u v u v u v 2 2 y − z = 2(x x + y y + zz ) ce qui entraîne le résultat. 2 = (x + x )2 + ( y + y )2 + (z + z )2 − x 2 − y 2 − z 2 − x − 2 THÉORÈME 8.7 (Bilinéarité) → → w Le produit scalaire est bilinéaire : soient − , − , − trois vecteurs et λ ∈ , alors : u v → → → w → → w → w → → w • [− + − ] · − = − · − + − · − et [λ− ] · − = λ[− · − ]. u v u → → w v → u u → − · [− + − ] = − · − + − · − et − · [λ− ] = λ[− · − ]. → → w → → → → w → → → → → • u v

ensemble, une loi de composition interne, notée ∗, sur E, est une application (voir page 8) définie sur E × E et à valeur dans E. A deux éléments de E, on associe un troisième élément de E. On note une loi de composition interne sous forme d’opération plutôt que sous forme d’application : z = x ∗ y. Les propriétés usuelles d’une loi ∗ de composition interne sur E sont : associativité : ∀x, y, z ∈ E, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) En un mot, on peut, dans un calcul, regrouper les termes comme on veut, sans

6 SEGMENTATION  Définition La segmentation d'images est l'un des problèmes phares du traitement d'images. L'intérêt de cette segmentation est de pouvoir être manipulées via des traitements de haut niveau pour extraire des caractéristiques de forme, de position, de taille, etc.  Les différentes segmentations Segmentation par région Segmentation par contour Plan 7 Introduction  SEGMENTATION Segmentation par région Segmentation par contours FILTRAGE Généralités Filtres linéaires

par la méthode des déterminants, on introduit le polynôme minimal qA d’une matrice carrée A, et on démontre le théorème de décomposition de Jordan : toute matrice carrée A dont le polynôme caractéristique est scindé s’écrit de manière unique sous la forme A = D + N, avec D diagonalisable, N nilpotente et DN = N D. Un calcul explicite de D et N est obtenu grâce au théorème chinois pour les polynômes. Ces résultats sont appliqués au Chapitre 6 à l’itération des matrices et à la théorie des systèmes différentiels

particulièrement le climat. L’étude de l’anémie falciforme montre l’influence du milieu sur la génétique : A l’état homozygote, ce gène provoque une anémie fatale. Mais à l’état hétérozygote, les individus ayant ce gène sont relativement immunisés contre une forme de la malaria. Dans les régions qui subissent la malaria, la fréquence du gène de l’anémie falciforme est très grande. 2. Le métissage : brassage génétique. 3. La dérive génétique : dans une population considérable, le patrimoine génétique tend

ensemble, une loi de composition interne, notée ∗, sur E est une application (voir page 8) définie sur E × E et à valeur dans E. A deux éléments de E, on associe un troisième élément de E. On note une loi de composition interne sous forme d’opération plutôt que sous forme d’application : z = x ∗ y. Les propriétés usuelles d’une loi ∗ de composition interne sur E sont : associativité : ∀ x,y,z ∈ E, ( x ∗ y) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z) En un mot, on peut, dans un calcul, regrouper les termes comme on veut, sans