Groupe Castel

ÉVARIS MATHÉMATICIEN Biographie LA NOTION DES GROUPES Les groupes est l’une des notions examinées par Évariste Galois. De nos jours, en mathématique, les groupes peuvent être représentés comme un ensemble de nombres avec, comme opération, l’addition, la multiplication, ou d’autres fonctions. Par exemple, l’ addition des nombres entiers relatifs* est une opération de groupe, puisqu’il respecte les quatre règles suivantes : LES RÈGLES = GROUPE 1-Lors de l’opération, on doit rester dans l’ensemble

CORRIGE DU DS n°2 I1 MATHEMATIQUES EXERCICE 1 1. 2   1  4  1  3i   5  12i . Soit  une racine carrée de  et  x, y   2 tel que   x  iy donc tel que  x  iy   5  12i . De plus   25  144  13  x2  y2  5 2 x2  18  x  3 x  3  x  3    2 . Donc 3  2i et 3  2i sont les racines carrées de .     2 xy  12   xy  6   xy  6   ou  y  2  y  2  2  2  y  2 2   x  y  13 2 y  8 On considère   3  2i . Les solutions de l’équation z2  z

MATHEMATIQUES - D.S. N° 1 Mardi 28 septembre 2004. Durée : 1 heure (Chapitre 1 : généralités sur les fonctions). 1S 1 Exercice 1 : Q.C.M.(2.5 points) Indiquez la bonne réponse (attention, +0,5pt par bonne réponse et -0.25 par mauvaise) |La fonction x→ - x² + 5 est |a) croissante sur |b) croissante sur + |c) croissante sur | | | |

Exercice 1: (4 points) Cocher la bonne réponse. Justifier. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, , ) 1) Soit z un nombre complexe non nul d’argument , alors un argument de est a) b) c) 2) L’ensemble des points M du plan d’affixe z tel que z = z + est a) l’ensemble vide b) un cercle c) une droite 3) Soit z un complexe de module 2, M le point d’affixe z et N le point d’affixe z + i z a) ON = 4 b) Le triangle OMN est équilatéral c) Le triangle OMN est rectangle 4) On désigne par x

Polynômes factoriels On note ℝ [X ] la ℝ algèbre des polynômes réels en l’indéterminée X . Pour n ∈ ℕ , ℝ n [X ] désigne le sous-espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur à n . Pour tout polynôme P ∈ ℝ [X ] on pose ∆(P ) = P (X + 1) − P (X ) . Partie I 1.a Montrer que ∆ est un endomorphisme de ℝ [X ] . 1.b On suppose que P est un polynôme constant, préciser ∆(P ) . On suppose que deg P ≥ 1 , déterminer deg(∆(P )) . 2. Soit n ∈ ℕ∗ . On note ∆n la restriction de ∆

à gauche et à droite de l’arcade d’entrée, le journalisme et la typographie, mettaient en valeur l’enseigne du journal située sous le balcon du premier étage. Ce bâtiment deviendra plus tard le siège de L'Aurore. Références 1. ↑ Horace de Viel-Castel, Mémoires sur le règne de Napoléon III 1851-1864, Paris, Robert Laffont, 2005, p. 970 (Vendredi 16 mai 1862). 2. ↑ Henri Thévenin, Les Créateurs de la grande presse en France : Émile de Girardin, H. de Villemessant, Moïse Millaud, Spes, 1934. 3

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Chapitre 3: Théorie des groupes (script: p. 17) 3.Théorie des groupes Qu’est-ce que c’est ‘un groupe’: Qu’ estc’ groupe’ Définition: un groupe est une collection d’éléments qui remplissent les d’él conditions suivantes: (1) Toute combinaison de deux éléments est aussi un élément (2) il y un élément neutre E (qui laisse tout inchangé) inchangé AE = EA = A (3) la loi d’association est valable pour les multiplications d’ A(BC) = (AB)C (4) pour chaque élément il y un élément inverse

Mathématiques en MPSI 1 x+y . 1 + xy 1) Montrer que ⊕ est une loi interne sur ] − 1, 1[. 2) Montrer que ] − 1, 1[, ⊕ est un groupe commutatif. On pose, pour tous x, y ∈ ] − 1, 1[ : a) Montrer que aZ + bZ est un sous-groupe de Z. En particulier, aZ + bZ = dZ pour un certain d ∈ N d’après 2). Montrer qu’en fait d = a ∧ b. b) Montrer que aZ ∩ bZ est un sous-groupe de Z. En particulier, aZ ∩ bZ = mZ pour un certain m ∈ N d’après 2). Montrer qu’en fait m = a ∨ b. x⊕y = ————————————–

01266 ] [correction] Soit E l’ensemble des matrices de la forme  a M (a, b, c) =  0 0 ∈ Mn (R) appelée matrice de permutation associée à σ. a) Montrer que ∀(σ, σ ) ∈ S2n , P (σ ◦ σ ) = P (σ)P (σ ) b) En déduire que E = {P (σ)/σ ∈ Sn } est un sous-groupe de GLn (R) isomorphe à Sn . c) Vérifier que t (P (σ)) = P (σ −1 ) Exercice 38 [ 01268 ] [correction] Soit E l’ensemble des matrices de M2 (K) de la forme A= Exercice 35 [ 01264 ] [correction] Montrer que Sn (R) et An (R) sont des sous-espaces vectoriels