Hans Scholl

hypoth`ses de march´ Black-Scholes, le sous-jacent S a pour dynamique e e (3) La formule d’Itˆ donne alors o (4) dft = (µ − r) ft dt + σ ft dWt , f0 = S0 erT ∗ dSt = µ St dt + σ St dWt , S0 > 0. et par cons´quent f v´rifie l’´quation (1) avec µf = µ − r et σf = σ. e e e Soit un call europ´en de maturit´ T ´crit sur un futures ft = fS (t, T ∗ ) de maturit´ T ∗ ≥ T . Si T = T ∗ le prix e e e e ∗ de ce call peut ˆtre obtenu directement ` partir des formules de Black-Scholes en posant St = ft e−r(T

(que sont les institutions communautaires, les États et les particuliers.) L’une des garanties les plus importantes de cette union de droit est l’existence d’une hiérarchie des normes. La hiérarchie des normes a été popularisée par le théoricien Hans Kelsen au milieu du vingtième siècle qui a décrit cette dernière sous la forme d’une pyramide, fondée sur le principe qu'une norme doit respecter celle du niveau supérieur. Tout comme l’ordre juridique national et l’ordre juridique international

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 39 44 54 57 62 63 63 63 66 69 72 76 77 5 Modèle de Black Scholes 5.1 Hypothèses sur le marché . . . . . . 5.2 Modélisation probabiliste du marché 5.3 Probabilité risque neutre . . . . . . . 5.4 Portefeuilles autofinançants . . . . . 5.5 Duplication d’un produit dérivé . . . 5.6 Formule de Black Scholes . . . . . . 5.7 Sensibilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Your Call # 2 & 4 Piano Secondhand Sere nade ?# 4 œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ 2 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ œ œ # ‰ œœ ‰ Œ œ œ Œ œ œ œ ‰ œj œ œ œ œ œ œ œ Œ œ œ œ Œ œ œ œ ‰ œ œ œ œœ & J ?# œ œ œ œ œœœœ œœœœ œœ œœ œœœœ œœœœ œœœœ œ œœœ # Œ œ œ œ Œ œ œ œ ‰ œ œ œ œ Œ œ œ ‰ j‰ j œ œ œ œ œ Œ . œ œ œ & J ?# œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœ œœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœ œ # & Ó Ó œœœœ Œ œ Ó Ó œ œ ˙ ˙ Ó œ œ œ œ œ Œ œj ‰ J ?# œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœœ œœœ œœœ œ œ # Œ. & j

´valuation sous probabilit´ risque neutre e a e e e 2.3 Arbre binomial ` deux p´riodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e 2.4 Evalutation d’un put am´ricain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5 Convergence vers Black Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Prise en compte de dividendes et call am´ricain . . . . . . . . . . . . . . e 2.7 Les extensions possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Evaluation en temps continu 3.1 Introduction

présente la valeur au risque conditionnelle qui, elle, est cohérente. Nous terminons ensuite par les mesures du type shortfall risk. Le troisième chapitre expose le problème principal de ce mémoire. Nous nous plaçons dans un modèle de type Black-Scholes pour modéliser le prix d'un actif risqué. En expliquant comment d'autres auteurs ont réussi à minimiser la valeur au risque d'un portefeuille composé d'une action avec une option de vente, nous montrons comment l'on peut étendre leurs résultats

................................................... 4 Les mathématiques financières .................................................................................. 5 Le modèle de Black-Scholes....................................................................................... 5 Le modèle de Black-Scholes multi varié .................................................................... 6 Les modèles à sauts......................................................................................

Modèle Black-Scholes Le modèle de Black-Scholes (du nom de Fischer Black et Myron Scholes) d'évaluation d'option est un modèle utilisé en mathématiques financières afin d'estimer en théorie la valeur d'une option financière, du type option européenne. Importance historique et économique Il fut publié en 1973, et constituait le prolongement de travaux réalisés par Paul Samuelson et Robert Merton. Le mathématicien français Louis Bachelier avait inauguré l'étude du sujet en 1900. L'intuition fondamentale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Le modèle de Cox, Ross et Rubinstein 2.1 Description du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Absence d’Opportunité d’arbitrage . . . . . . . . . . . . 2.3 Formule de Black Scholes par l’approximation par arbres 2.4 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arrêt optimal et options américaines 3.1 Enveloppe de Snell et Pricing d’une option américaine 3.2 Le problème de l’arrêt optimal . . . . . . . . . . .

du contrat. Page | 4 Exemple : Un investisseur vend le 01/04/2011 un put sur l’action ALPHA au prix de 1.600 DH. Echéance le 30/09/2011 au prix de 1.600 DH. La prime est fixée à 100 DH et le cours spot est de 1.600 DH. C- Le modèle Black-Scholes de valorisation des prix des options : Ce modèle est formulé en temps continu selon les hypothèses suivantes : Les options sont à l’européenne ; Elles portent sur des actifs sous-jacents ne payant ni intérêts ni dividendes durant la durée de vie