Homothétie

nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte : G ( p) = K · G( p) soit : ⇒ G ( jv) = K · G( jv) G (v) = K · G(v) et w (v) = w(v) Le nouveau lieu de Nyquist obtenu, G2 (en pointillés sur la figure 6.16), se déduit donc simplement de G1 par simple homothétie de rapport K. En effet, pour une pulsation v donnée, si M et M’ sont respectivement les deux points de G1 et G2 correspondant à cette pulsation, on a : G (v) = K · G(v) et w (v) = w(v) Im Re Figure 6.16 Influence du gain sur la stabilité.

deuxième manière d’évaluer I repose sur le changement de variables suivant : y−x y+x et v = u= 2 2 √ 1 Le nouveau domaine d’intégration est un carré de côté 2 2, transformé de l’ancien domaine par la composée d’une rotation d’angle 45◦ et d’une 1 homothétie de rapport √2 . En substituant ces nouvelles coordonnées, on obtient : 1 1 = 1 − xy 1 − u2 + v 2 Pour transformer l’intégrale, il convient de remplacer dx dy par 2 du dv afin de compenser le fait que le changement de variables réduit les aires dans

pour tout n ϵ IN∗, on a - est divisible par 7 c) pour tout n ϵ IN∗, on a - est divisible par 9 275. La médiatrice du segment passe par : a) le point A b) le point B c) le point I milieu du segment 276. l’expression complexe de S qui est une homothétie de centre A (1 ; 0) et rapport Z est : a) s(z) = z’ = 2iz +1-i b) s(z) = z’ = 2z -1 c) s(z) = z’ = 2z +1 277. si s(z)= z’= (-1 + i)z +2 +2i alors l’angle de S est : a) b) c) 278. L’affixe du point A (2 ;-1) est égale à a) -2 + i b) -2-i c) 2-i

¡m1 i=¡ m1 et donc M (rt ) = r¡ m1 £ (r) £ r t pour tout t, ce qui correspond à la dé…nition d’éléments propres. Suites géometriques réelles Si r est réel alors l’application d’une moyenne mobile à la suite géométrique (rt ) revient à faire une homothétie de rapport r¡m 1 £ (r). Suites géométriques complexes r¡ m1 £ (r) = ¡ (!) eiÁ(!) , ½ Si r = ½ei! alors appliquer M revient à multiplier r t par le nombre complexe r t = ½te i!t M rt = ½t ei!t¡ (!) eiÁ(!) = [¡ (!) ½t] ei[!t+Á(!)] ; ce qui correspond

l'espace social, en même temps que de leur perceptibilité, aussi bien que de la représentation qui peut s'en construire. De tels exemples peuvent être multipliés : ils valent même précisément parce qu'ils sont multipliés, dans une extraordinaire homothétie thématique, du détail à la scène, de l'épisode à l'ensemble du roman. Les Misérables imposent à la mémoire de grands volumes d'ombres dans lesquels sont enfoncés les personnages : la rencontre entre Jean Valjean et le petit Gervais (une version

réalité, il semble que l’évolution de certains paramètres de la voix en fonction du niveau de bruit ne soit pas linéaire. Nous reviendrons en détail sur ce point au chapitre 10. Cette constatation a pour conséquence qu’une transformation de type homothétie et translation ne permet pas de modéliser précisément l’effet du port du casque et de prévoir la valeur d’un paramètre en condition naturelle à partir de sa valeur mesurée en condition d’immersion par casque. Cette imprécision n’est pas vraiment

−− −→ −− −→ −− −→ → − D.2.5 Par définition du centre d’inertie G, m1 GM1 + m2 GM2 = 0 , on en déduit GM1 = −→ − −− −→ −→ − − m1m2 2 GM et GM2 = m1m1 2 GM . Par conséquent, les trajectoires de M1 et M2 s’obtiennent +m +m à partir de celle de M par homothétie. avec µ = 1 m1 m2 m1 +m2 1 m1 +m−2 2 m1 +m−2 D.3 Étude du mouvement de M D.3.1 On applique le théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique galiléen −∗ → −→ − − → − − −→ L v au point M . ddt = dGM ∧ µ→

rejoindre E et F passant par O AEDF forme un rectangle d’or (AE/AD = nombre d’or) Le rectangle d’or obtenu, donne naissance à une multitude de rectangles d’or construits à partir de la même diagonale (homothétie). Un rectangle d’or se divise très simplement en de nombreux rectangles d’or. Si ce rapport explique les règles de la proportion, il ne faut cependant pas chercher à vouloir pousser trop loin son utilisation au risque de déraper

un polynôme annulateur de f si et seulement si P (f ) = ΘE . Exemples – Justifier que X − 1 est un polynôme annulateur de IdE . – Déterminer un polynôme annulateur de ΘE . – Déterminer un polynôme annulateur d’un projecteur, d’une symétrie, d’une homothétie de rapport λ. Proposition Soit f ∈ L(E), (λ, µ) ∈ K2 et (P, Q) ∈ K[X]2 . Alors : (λP + µQ)(f ) = λP (f ) + µQ(g) (P Q)(f ) = P (f ) ◦ Q(f ) = Q(f ) ◦ P (f ) = (QP )(f ) En conséquence, si P est un polynôme annulateur de f alors P Q est aussi un

 aboutissant à un comportement sans doute assez proche, décrit le contrôleur de gestion comme «conseiller du prince», selon l’image du «fou du roi»: questionneur permanent, empêcheur de «décider en rond», il est tout sauf un «béni­oui­oui» et s’inscrit non pas en homothétie de pensée et de comportement avec le décideur mais dans un débat critique et contradic­ toire avec celui­ci. Un grand dirigeant d’entreprise, cité par R. Danziger, nous dit: «Pour prendre une grande décision, je prends mon Directeur Financier et mon