Idéal

sous-anneau de QN . Le fait que C est stable pour la multiplication se montre en utilisant fait qu’une suite de Cauchy est bornée. Le sous-ensemble Z de C formé des suites qui tendent vers 0 est un idéal de C (là encore on utilise le fait qu’une suite de Cauchy est bornée). C est un corps On vérifie alors que Z est un idéal maximal de C et l’anneau quotient R = Z commutatif. L’application i qui associe à un nombre rationnel r la classe de la suite constante C C égal à r dans réalise une injection de Q dans

(u) = 0. Il en résulte que l'ensemble : n'est pas réduit au polynôme nul. Cet ensemble est le noyau du morphisme d'algèbres P → P (u) , c'est donc un idéal de l'anneau K [X] . Cet anneau étant principal, on peut donner la dénition suivante. générateur unitaire de cet idéal. On note πu ce polynôme. On a donc : Dénition 17.1 On appelle idéal annulateur de u l'idéal Iu et polynôme minimal de u le Iu = {P ∈ K [X] | P (u) = 0} = K [X] πu A ∈ Mn (K) . et πu est le polynôme unitaire

de QN . Le fait que C est stable pour la multiplication se montre en utilisant fait qu’une suite de Cauchy est bornée. Le sous-ensemble Z de C formé des suites qui tendent vers 0 est un idéal de C (là encore on utilise le fait qu’une suite de Cauchy est bornée). C est un corps On vérifie alors que Z est un idéal maximal de C et l’anneau quotient R = Z commutatif. L’application i qui associe à un nombre rationnel r la classe de la suite constante C C égal à r dans réalise une injection de Q dans

poursuit encore sa socialisation tout le reste de sa vie : premier emploi, mariage, naissance du premier enfant, changement d’emploi, promotion, déménagement… Une valeur est un idéal propre à une société donnée ou à un groupe d’individus. C’est la manière d’être ou d’agir qu’une collectivité reconnaît comme idéale et à laquelle on souhaite que chacun se conforme. Les normes sont des modèles, des règles de conduite auxquelles les individus doivent se conformer pour vivre en société. Ces règles

loi ×. • Une partie I de A est appelée idéal bilatère de A si I est un sous-groupe additif de (A, +), et si pour tout x ∈ I et y ∈ A, xy ∈ I et yx ∈ I. • Le centre C(A) d’un pseudo-anneau A est : C(A) = {x ∈ A | ∀y ∈ A, xy = yx}. • On dit qu’un pseudo-anneau A est commutatif si la loi × est commutative, ce qui revient à dire que C(A) = A. 1. Soit A un pseudo-anneau (a) Montrer que C(A) est un sous-groupe additif de (A, +). (b) Montrer que tout idéal bilatère I de A est un pseudo-anneau. 2

Définition : Si , si on dit que est un polynôme annulateur de f si f. Structure Proposition : L’ensemble des polynôme annulateur de est un idéal de . g. Polynôme annulateur et inverse Proposition : et donc f est inversible et \ h. Polynôme annulateur en dimension finie – Polynôme minimale Proposition : Si alors , i.e. \ Conséquence : Comme tout idéal est principal il existe un polynôme annulateur \ et car . s’appelle le polynôme minimal de f notée . Conséquence : Dès que , , 3

Démonstration Im σ est un sous-anneau de E. Il contient K σ K et a L est un sous-anneau de E contenant K a L car tout élément c de Im σ s’écrit c Définition Soit σ; K X E l’application définie par σ P P a pour tout P K X . Considérons le noyau de σ. C’est un idéal de K X .  © 10 © £ ¢  ©   £ ¢ 2£ ¢ ¡ ( )£ ¢ Im σ i n i 0 P a ∑ bi ai   % #'" £ ¢ ¡ £ ¢ ¡ % $" # Théorème Im σ est le sous-anneau K a de E engendré par K a . σ X . alors L. © % $" # Définition

génération, véhicule avec elle des références qui la singularise. Pourtant, la lecture, d’utilité publique, peut avoir une influence essentielle sur les comportements, les valeurs et les normes sociales : liberté, égalité, fraternité. C’est un idéal propre à une société qui impose ses règles. Lire demeure la richesse de la vie intellectuelle et pour cela, les ouvrages sont là, à portée de main; le livre tient au creux de la paume, c’est un miroir, une machine à remonter le temps

enfants, se marier… Donc la socialisation secondaire se fait plutôt seul mais à son insu. Mais ces deux types de socialisation apportent des acquisitions. La socialisation nous apporte des acquisitions qui peuvent être des valeurs, qui est un idéal propre à une société donnée ou à un groupe d’individus, c’est la manière d’être ou d’agir qu’une collectivité; par exemple nous pouvons trouver liberté, égalité, fidélité, respect, tolérance, fraternité, travail, patrie.   Nous pouvons également

Introduction aux structures algébriques c Christophe Bertault – Mathématiques en MPSI 1 x+y . 1 + xy 1) Montrer que ⊕ est une loi interne sur ] − 1, 1[. 2) Montrer que ] − 1, 1[, ⊕ est un groupe commutatif. On pose, pour tous x, y ∈ ] − 1, 1[ : a) Montrer que aZ + bZ est un sous-groupe de Z. En particulier, aZ + bZ = dZ pour un certain d ∈ N d’après 2). Montrer qu’en fait d = a ∧ b. b) Montrer que aZ ∩ bZ est un sous-groupe de Z. En particulier, aZ ∩ bZ = mZ pour un certain