Indépendance algébrique

Exercices - Familles libres - liées - génératrices - Bases : corrigé Exercice 1 - Combinaisons linéaires - L1/Math Sup On se demande s’il existe x, y ∈ R tel que u = xu1 + yu2 . 1. On doit résoudre le système 1 = x + 2y 2 = −2x + 3y Effectuant L2 + 2L1 → L2 , on trouve qu’il est équivalent à 1 = x + 2y 4 = 7y On peut donc trouver y, puis x : u est bien combinaison linéaire de u1 et u2 . Une façon plus abstraite de voir les choses est de remarquer que u2 n’est pas proportionnel à u1 . Ainsi, (u1

Corrigé du DS no2 Exercice 1 n 1 1. a. On a dn = 1, d2 = 1 n+1 1 n−1 d3 = 1 n 1 n+1 (Partie 1 de CCP 2007 PSI 2) = 1 et n(n−1) 2 n(n+1) 2 (n+1)(n+2) 2 0 −1 −2n 1 = 1 n n2 + n 2 0 1 2n + 2 =− L1 ← L1 − L2 L3 ← L3 − L2 on développe par rapport à la première colonne 1 −1 −2n = 1. 2 1 2n + 2 Ainsi dn = dn−1 = dn−2 = 1 . b. Les anciens coefficients de Li sont les ai,j , 1 j n − p + 1. Les nouveaux coefficients de Li sont les bi,j = ai,j −ai−1,j

LM270 UPMC 2011–2012 Corrig´e de la feuille 1 Corrig´e des exercices de la feuille n◦ 1  1 2 3 0 3 4  Exercice 1 (CC 2009-10). Soit A =  2 1 5 3 2 8/3 sur les colonnes, d´eterminer rang(A) et des bases  4 5 5 6   ∈ M4,5 (R). En faisant des op´erations ´el´ementaires 4 3  5 22/3 de Im(A) et Ker(A). Solution : L’espace de d´epart ´etant de dimension 5, on part de (A | i = 2, 3, 4, 5, on obtient  1 −2 0 0 0 1 0 0 1 0 3 4 5 6  0 0  2 −3 −1 −4 −7  0 0 3 −4 −19/3 −7 −23/3 0 0 puis ajoutant

SESSION 2002 E3A Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques 3 MP Partie 0. Un exemple. 1. On a M = diag(1, 2, . . . , n). Soit alors A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (C). La matrice AM est la matrice (jai,j )1≤i,j≤n et la matrice MA est la matrice (iai,j )1≤i,j≤n . Par suite, AM = MA ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , iai,j = jai,j ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , (i − j)ai,j = 0 ⇔ ∀i = j, ai,j = 0. On a montré que ⇔ A ∈ Dn (C). C(M) = Dn (C). 2. Donc immédiatement, dim(C(M))

Chapitre 1 : Forme linéaire dualité dans les espaces vectoriels de dimension finie E : un espace vectoriel de dimension finie sur K (K=R ou C) I. espace dual Rappel : ●On note Homk(E,F), l’ensemble des applications linéaires E→F. ● Homk(E,F) est un espace vectoriel, si on le muni des opérations suivantes : (à vérifier) - Si f,gЄ Homk(E,F) alors on note f+g l’application E→F x,y→f(x)+g(x) On voit facilement que f+g est lineaire, f+gЄ Homk(E,F). -Si Homk(E

DIAGONALISATION EXERCICE 1. E = R3 est rapporté à sa base canonique e = {e1 , e2 , e3 }. f est l’endomorphisme de matrice M dans cette base :  1 −1 1    M =  −2 0 −1    1   −2 −2 1. 2. 3. 4. 5. 6. Déterminer son polynôme caractéristique. Calculer ses valeurs propres. Donner une base des sous-espaces propres. Décider si f est diagonalisable. Donner éventuellement l’expression diagonalisée. Vérifier en utilisant les matrices de changement de base. EXERCICE

GÉOMÉTRIE VECTORIELLE Important: Toutes les opérations possibles sur les vecteurs dans un plan sont les même que celles sur les vecteurs dans l’espace, il est donc possible de reprendre les même notions (par exemple la relation de Chasles) vu pour les calculs dans le plan et de les étendre à l’espace. I. CARACTÉRISATION D’UNE DROITE OU D’UN PLAN Dans l’espace une droite est caractérisée par les coordonnées de deux points distincts ou par la donnée d’un vecteur directeur et d’un point.

Mamouni, CPGE Rabat MPSI-Maths CPGE My Youssef, Rabat R´sum´ de cours e e R´vision Alg`bre Lin´aire (Sup) e e e « ¯ É « © « ¯ É « ¯ º « mamouni.myismail@gmail.com www.chez.com/myismail « « ¬ ¬ ¬ « È « ö ¬ « « « « ¬ ¯ ª « « « ¬ « «« É ª « © « ¬ « ­ « « « ­ ¬ « © ¬ © Â © ª « « « ¬ ¯ « « « ã R´sum´ de cours: e e R´vision Alg` bre Lin´aire e e e Programme Sup 14 aoˆ t 2009 u Blague du jour Une femme arrive et voit son mari avec une tapette

l’Hebdomadaire “Charlie Hebdo” est un magazine satirique dont les bureaux ont été violemment attaqués par deux extrémistes islamiques sur mercredi 7th, janvier 2015. Ils ont brutalement tué 12 personnes y compris: 8 journalistes, 2 policiers, 1 concierge et 1 visiteur. Ces meurtres ont donné lieu à un débat houleux sur la liberté de la presse et par extension la liberté d’expression. Dans la plupart du pays démocratiques, la liberté d’expression est considérée comme un droit fondamentale pour tout

Planche no 1. Algèbre linéaire I * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (** I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer que : [(F ∪ G sous-espace de E) ⇔ (F ⊂ G ou G ⊂ F)]. no 2 (****) : Généralisation. Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F1 , ... , Fn n sous-espaces de E où E est un es  pace vectoriel sur un sous-corps K de C. Montrer que (F1 ∪ ... ∪ Fn sous-espace