Espaces vectoriel
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Exercices - Familles libres - liées - génératrices - Bases : corrigé Exercice 1 - Combinaisons linéaires - L1/Math Sup On se demande s’il existe x, y ∈ R tel que u = xu1 + yu2 . 1. On doit résoudre le système 1 = x + 2y 2 = −2x + 3y Effectuant L2 + 2L1 → L2 , on trouve qu’il est équivalent à 1 = x + 2y 4 = 7y On peut donc trouver y, puis x : u est bien combinaison linéaire de u1 et u2 . Une façon plus abstraite de voir les choses est de remarquer que u2 n’est pas proportionnel à u1 . Ainsi, (u1 , u2 ) est une famille libre à deux éléments dans R2 , espace de dimension 2. C’est donc une base de E. En particulier, tout vecteur de R2 s’écrit comme combinaison linéaire de u1 et u2 . 2. On ne peut plus avoir de raisonnement abstrait car on travaille avec seulement deux vecteurs dans un espace de dimension 3. L’équation u = xu1 +yu2 équivaut successivement à x+y = 2 x+y = 2 4x = 7 (L2 + L1 → L2 ) 3x − y = 5 ⇐⇒ −2x = −5 (L − 4L → L ) 2x + 4y = 3 3 1 3 Les deux dernières équations sont incompatibles, u n’est donc pas combinaison linéaire de u1 et u2 . 3. On reprend le même raisonnement. L’équation u = xu1 + yu2 équivaut successivement à
x+y = 3 3x − y = 1 2x + 4y = m
⇐⇒
x+y
= 3 4x = 4 (L2 + L1 → L2 ) −2x = m − 12 (L − 4L → L ) 3 1 3
x = 1 y = 2 ⇐⇒ −2 = m − 12 Le système admet donc une solution si et seulement si m = 10. Par conséquent, u est combinaison linéaire de u1 et u2 si et seulement si m = 10.
Familles libres
Exercice 2 - Pour bien commencer... - L1/Math Sup 1. Puisque u et v sont non-nuls et que u n’est pas proportionnel à v, la famille de deux vecteurs (u, v) est libre.
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Exercices - Familles libres - liées - génératrices - Bases : corrigé 2. Ecrivons au + bv + cw = 0. Ceci se traduit en le système
a+b−c = 0 2a + 2c = 0 −a + b − 3c = 0
⇐⇒
a+b−c = 0
−2b + 4c = 0 2b − 4c = 0
Pour c = 1, b = 2 et a = −1, on obtient une