Intérêts composés

On étudie tout particulièrement les suites de base que sont les suites arithmétiques et géométriques car leurs applications économiques sont nombreuses : progression d'une population à taux constant, valeur acquise d'un placement à intérêts simples ou à intérêts composés pour une période donnée, etc. Des formules permettent de calculer directement la somme de leurs premiers termes. 1 1. Par quelles méthodes engendrer une suite numérique ? Pour une suite numérique (Un), on appelle Un le terme

de raison q = 4. • Méthode : qn −1 On utilise la formule S = u1 q −1 • Solution : 410 − 1 La formule devient ici S = 9 × ⇒ S = 3( 410 − 1) ⇒ S = 3 × 1048575 4 −1 Donc : S = 3145725 VIII.Application aux intérêts composés : • Exemple : Une personne place un capital de 15 000 à intérêts composés, au taux annuel de 6 %. Quel est le montant de la valeur acquise à la fin de la 8e année ? • Méthode : À la fin de chaque année, la valeur acquise est celle du début de l’année augmentée de 6%, c’est-à-dire

Suites géométriques et croissance exponentielle Exercice 1 : Une personne place un capital de 5 000 € à intérêts composés au taux annuel de 5 %. Cela signifie que, à la fin de chaque année, le capital augmente de 5 % de sa valeur de l’année en cours. L’augmentation n’est donc pas constante, contrairement au cas d’un placement à intérêts simples. Notons S0 la somme initiale en euros (S0 = 5 000 €), S1 le capital disponible au bout d’un an et, de manière générale, Sn le capital disponible au bout

MATHEMATIQUES FINANCIERES La CAPITALISATION L’ACTUALISATION I. La VALEUR FUTUR d’une somme la VALEUR PRESENTE d’une somme ? = ?? ∗ ? ∗ ? INTERETS SIMPLES  Capitalisation Valeur Future = Valeur Présente + Intérêts ??? = ??? ∗ (? + ?? )  II. Actualisation : ??? ??? = (? + ?? ) INTERETS COMPOSES Cn Co r n Valeur Futur à date n Valeur Actuelle à la date 0 Taux d’intérêt de la période Nb de période  Capitalisation ?? = ?? ? ( ? + ?)?  Actualisation ?? = ?? ? ( ? + ?) −? Détermination

d’intérêt. On parle d’intérêts simples quand les intérêts ne sont pas intégrés au capital, ce qui est le cas des opérations de moins d’un an. Ils seront abordés dans le chapitre 5, lorsque nous parlerons de gestion de trésorerie, de découvert, d’escompte et de coût des financements à court terme. On parle d’intérêts composés quand les intérêts sont rajoutés au capital qui augmente, ce qui majorera les futurs intérêts (par exemple dans les cas des intérêts d’un livret A qui seraient laissés sur plusieurs

000 × 1,065 − 1 = 28 185,46 0,06 ¡¢  Valeur un an après : 28 185,46 × 1,06 = 29 876,27 Intérêts acquis alors : 29 876,27 − ( 5 × 5 000) = 4 876,27   Valeur acquise au 5e versement :   • Solution : • Remarque : il s’agit en fait d’une suite géométrique Au début de la 5ème année, le premier versement vaut : 5 000 × 1,064 Le 2ème versement ne produit des intérêts que 3 ans et vaut donc : 5 000 × 1,063 Et ainsi de suite jusqu’au 5ème versement qui n’a encore rien rapporté

: %d", envers); return 0 ; } Exécution Entrez un entier positif :1234 L'entier lu : 1234 A l'envers : 4321 Exercice 3 Écrire un programme permettant de saisir les informations d'un placement : le capital (un réel) le taux d'intérêt (composé) annuel en % Le programme calcule et affiche l'évolution du placement, année après année. Lorsque notre épargne vaut un million ou plus, l'exécution du programme s'arrête. Ce programme permet donc d'évaluer combien d'années cela prendra pour devenir

que u2 + u3 + u4 = 15 et u6 = 20 .Calculez u0 Exercice n°4. Albert place un capital initial C0 = 3000 € à un taux annuel de 6%, les intérêts étant simples, c’est-à-dire que le capital d’une année est égal à celui de l’année précédente augmenté de 6% du capital initial (les intérêts ne sont pas capitalisés chaque année, comme ce serait le cas pour des intérêts composés). On note Cn le capital d’Albert au bout de n années, capital exprimé en euros. 1) Montrer que, pour tout entier n, Cn +1 = Cn + 180

second tour, 29 % des voix avec un taux de participation de 80 %. Le nombre de voix exprimées obtenu par le parti a connu, entre le premier et le second tour : Le taux mensuel moyen équivalent à un taux annuel de 9 % dans le cas d’un placement à intérêts composés, arrondi à 0,01 %, est : 100 % 200 % 300 % 400 % (P × 10 %) × 5 % P + (P × 15 %) P + 15 % P ×1,1 × 1,05 Une stagnation Une diminution Une augmentation On ne peut pas répondre car on ne connaît pas le nombre

u0 × 0, 97 − 1  soit S ≈ 110,46 kg par personne. 2. Étudier une suite géométrique et déterminer un seuil (p. 17) Exercices d’application a. On note Cn le capital acquis au bout de n années de placement. C0 = 12 000 . Le capital placé à intérêts composés au taux annuel de  2,7 % est donc multiplié par 1,027 chaque année. La suite ( Cn ) est géométrique de raison 1,027 de terme initial C0 = 12 000 . Pour tout entier n , Cn = 1,027n × 12 000 . C10 = 1,02710 × 12 000 . Soit C10 ≈ 15 663 € . b. C0