La Conjecture

2 B 1 0.5 1. 1.0 1.5 2.0 a. À partir des informations sur Cg , donner les valeurs de g (1) et g ′ 1 g (1) = 3 et g ′ 2 = 0 1 2 . b. Par lecture graphique, faire une conjecture sur le signe de g (x) pour tout x de l’intervalle ]0 ; +∞[. Graphiquement, on conjecture que pour tout x de l’intervalle ]0 ; +∞[, g (x) 0. 2. On admet que la fonction g est définie sur ]0 ; +∞[ par g (x) = a +b ln(x)+2x 2 . En utilisant les résultats de 1.a., déterminer a et b. g ′ (x)

l’absolu. Un énoncé réfuté par l’expérience est définitivement faux et cela, de manière absolue. La vérité se découvre donc par essais et erreurs, par conjectures et par élimination des erreurs. On appelle cela le principe de réfutation. Popper applique alors cette méthode aux théories scientifiques. Les théories scientifiques sont des conjectures qui seront réfutés un jour. Une théorie qui n’est pas réfutée est corroborée, c’est-à-dire vraie provisoirement. Mais Popper considère que, pour être

d’une fonction rationnelle 2 Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x + 1 x On veut déterminer les variations de f. 1/ Représenter cette fonction sur l’écran d la calculatrice et faire une conjecture quant aux variations. 2/ Appliquer la méthode vue précédemment pour vérifier cette conjecture. 

signe de f (x) – g(x) est le même que celui de g(x). x –• Signe de x Signe de x – 1 Signe de x + 1 Signe de x(x – 1)(x + 1) 0 1 – 0 + – – 0 0 + + 0 + 0 – 0 +• –1 – – – – + + + + On retrouve bien les résultats conjecturés. Remarque : On pourrait ne factoriser g(x) que par x, puis utiliser la fonction carré. 1 c. Pour tout x, f (x) = 2 g(x) donc l’égalité est vraie. 68 Remarque : Cet exercice a pour objectif de faire 0 1 travailler les coefficients

un résultat 1 ,5 Question 3 c) L’élève est capable de: -lire un résultat - analyser, présenter et communiquer un résultat 2 Question 4) L’élève est capable de: -expérimenter ou simuler ou émettre des conjectures ou contrôler la vraisemblance de ses conjectures. -communiquer un résultat. 3 Aptitudes 7 points APPEL Capacités liées à l’utilisation des TIC APPEL 3 points Appréciation : 10 Espace Forme Abonnement annuel :250 € puis 4 € la séance Athlétic

Leonhard Euler élabore une classification des fonctions. On tente de les appliquer à des réels négatifs ou à des complexes [15] . Le théorème fondamental de l'algèbre (existence de racines éventuellement complexes à tout polynôme) resté sous forme de conjecture depuis deux siècles est remis en avant dans l'utilisation de la décomposition des fractions en Histoire des mathématiques éléments simples nécessaire pour le calcul intégral. Successivement, Euler (1749), le chevalier de Foncenex (1759) et Lagrange

1) On considère C(-2;3) et D(0;1,5). Calculer la longueur CD à 0,01 près. 2) Calculer les coordonnées du milieu de [CD]. 3) Donner les coordonnées du point B (figure 1 au verso). 4) Donner les coordonnées du point A (figure 1 au verso). 5) Conjecturer grâce à la figure 1 du verso les coordonnées du milieu de [AB]. 6) Calculer la distance entre A et B à 0,1 près. 7) Donner la formule donnant les coordonnées du mileu J de deux points E(xE ; yE ) et F(xF ; yF ) : 8) Donner la formule donnant

et pour tout réel x, f n (x) = x n−1 (n − x)e−x . a. Déterminer les limites de la fonction f 1 en −∞ et en +∞. 11MASCOME1 page 4 / 6 3. Sur le graphique, la fonction f 3 semble admettre un maximum atteint pour x = 3. Valider cette conjecture à l’aide d’une démonstration. 4. a. Démontrer que la droite Tk coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées b. En déduire, à l’aide des données de l’énoncé, la valeur de l’entier k. PARTIE B On désigne par (I n ) la suite définie pour tout entier

Tout d’abord avant d’expliquer le texte nous allons le présenter lui ainsi que son auteur, le texte est extrait de Conjectures sur les débuts de l’humanité publié en 1795 et écrit par Emmanuel Kant. Kant est un philosophe allemand, il fut précurseur de l’idéalisme allemand. Dans un premier temps nous allons dégager la thèse de l’auteur et les étapes de son argumentation dans ce texte, dans un second temps nous expliquerons des passages du texte et pour finir nous répondrons à une question philosophique

= – 3 × 1– 1,5 1– 1,5 × 1,5 n Sn = – 3 × –0,5 Sn = 6 × [1 – 1,5 × 1,5 n] Sn = 6 – 9 × 1,5 n. Ainsi, lim Sn = – . n→+ ` 17    a)  u1 = 1,2 × 7 – 2 = 6,4  u2 = 1,2 × 6,4 – 2 = 5,68  u3 = 1,2 × 5,68 – 2 = 4,816. b) À l’aide de la calculatrice, on conjecture que la suite u tend vers – . c) vn + 1 = un + 1 – 10 = 1,2un – 2 – 10 vn + 1 = 1,2un – 12. Donc : vn + 1 = 1,2(un – 10) = 1,2 vn La suite v est donc géométrique de raison 1,2. d) v0 = u0 – 10 = –3, donc vn = –3 × 1,2n et un = vn + 10 = –3 × 1