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Pages: 46 (11364 mots) Publié le: 4 janvier 2015
C H A P I T R E

Résolution
algébrique
d’inéquations

6

1. Le programme
Contenus
Inéquations
Résolution graphique et
algébrique d'inéquations.

Capacités attendues
• Modéliser un problème par une
inéquation.
• Résoudre graphiquement des
inéquations de la forme :
f (x) < k  ; f (x) < g(x).
• Résoudre une inéquation à partir
de l'étude du signe d'une expression
produit ouquotient de facteurs du
premier degré.
• Résoudre algébriquement les
inéquations nécessaires à la résolution
d'un problème.

Commentaires
Pour un même problème, il s'agit de :
• combiner les apports de l'utilisation
d'un graphique et d'une résolution
algébrique,
• mettre en relief les limites de
l'information donnée par une
représentation graphique.
Les fonctions utilisables sont lesfonctions polynômes de degré 2 ou
homographiques.

2. Nos choix

3. Place dans la progression

Les méthodes de résolution graphique d’inéquations
ont été explicitées au chapitre 1.
Elles ont été réinvesties dans les chapitres 3, 4 et 5
pour des résolutions avec des fonctions particulières.
Les tableaux de signes ont été introduits dans chaque
chapitre.

L’étude de ce chapitre supposela connaissance des
règles de calcul algébrique sur les produits et quotients
(factorisations, développements, réduction au même
dénominateur, etc.). Il se place donc après l’étude des
chapitres 4 (Fonctions du second degré) et 5 (Fonction
inverse. Fonctions homographiques).

Le cours de ce chapitre est donc axé sur la résolution
algébrique des inéquations :
– dans une première partie, onexplique la construction du tableau de signes d’un produit et d’un quotient ;
– dans une deuxième partie, on travaille sur la résolution d’inéquations, en insistant sur les méthodes combinant graphique ou tableau de variations et algèbre.

4. Quelques éclairages

Les exercices sont nombreux : nous avons souhaité
commencer les différentes rubriques par des exercices
faisant travailler surle sens de la notion de signe et non
sur la technique.
Les premiers exercices « techniques » imposent une
méthode de résolution (algébrique ou graphique) ; dans
les exercices d’approfondissement et les problèmes,
nous avons souhaité combiner les apports des différents registres afin de proposer une synthèse des travaux
des autres chapitres.

La première activité a pour objectif d’expliciterla
méthode permettant de déterminer le signe d’un
produit et d’un quotient, et de combiner la visualisation graphique et les techniques algébriques. Elle introduit les tableaux de signes des produits et quotients.
La deuxième activité propose de résoudre un problème
en le traduisant algébriquement : plusieurs traductions
algébriques sont proposées, qui mènent chacune à
une inéquation. Dansles deux cas, la factorisation est
assez simple.
Dans le cadre d’une entrée par situation problème, on
peut également envisager d’utiliser cette activité sans
avoir réalisé l’activité 1 : elle amènera la problématique du signe d’une expression algébrique, la nécessité d’une factorisation… et le professeur pourra alors
proposer le tableau de signes d’un produit comme
« raccourci » pourrésoudre le problème.
CHAPITRE 6 • Résolution algébrique d’inéquations

1

Réactiver les savoirs
2. L’ensemble des solutions est [–3 ; + •[.

2 1. f (3) > 0 et f (0) < 0.
2. L’ensemble des solutions est [– 2,5 ; –2[ ʜ ]–1 ; 2[.
3.
–2
0

+

–1
0

2
0



4
0

+

A. 1. f1 est strictement décroissante sur ‫ ޒ‬et s’annule en 0,5.
f2 est strictement croissante sur ‫ ޒ‬ets’annule en – 2.

[– 2,5 ; –1,5] ʜ [1,5 ; 3,5].
b. L’ensemble des solutions est ]2,5 ; 3[.
c. L’ensemble des solutions est [–3 ; 4].

4 1. f est une fonction affine strictement croissante ;
g est une fonction affine strictement décroissante.


–•

Signe de f (x)
x
Signe de g(x)



5

+•

3

0

–•
+

2. f (–1)g(–1) > 0 ; f (9)g(9) < 0 ;

Remarques :
• Dans cette...
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