Lemniscate

continues Constante de Ramanujan 0,7642 Quantité de nombres décomposables en somme de deux carrés Constante de Catalan 0,9159 1/12 - 1/32 + 1/52 - 1/72 + ... 1 1 Élément neutre de la multiplication Constante de la lemniscate 1,3110 Même rôle que Nombre d'or ϕ 1,6180 Divine proportion Constante de Pythagore √2 1,4142 Diagonale du carré unité √3 1,7320 Diagonale du cube unité e 2,7182 Base du calcul exponentiel 3,1416 Aire

variables indépendantes, de loi uniforme sur [1, 3]. Déterminer la loi de la variable aléatoire S = X + Y en utilisant le produit de convolution. si (x, y) ∈ D sinon. 83 Corrigé Cet exercice est corrigé en annexe, sujet de mai 2008. Exercice 2.29 (Lemniscate de Bernoulli) Grâce à un changement en polaires, calculer l’intégrale : I= D a2 − x2 − y 2 dx dy, où D est le domaine limité par la courbe d’équation : (x2 + y 2 )2 = a2 (x2 − y 2 ), avec a > 0 fixé. Corrigé La première difficulté est de représenter

dire que, dans ces circonstances, les trois dernières Initiations ne sont pas mentionnées. Le tableau 21 donnera une idée de la disposition des couches de la Terre; nous avons omis le noyau central pour pouvoir indiquer plus clairement la forme en lemniscate des courants dans la neuvième couche. Dans ce tableau, les couches sont représentées comme étant d'épaisseur égale, bien qu'en réalité quelquesunes soient beaucoup plus minces que d'autres. En commençant par la surface, elles sont disposées dans

segment de droite [AB], de A(−1,0)vers B(1,1). ω dans les exemples suivants : (C) 12.2 Exemples de calculs d’aires planes a) Calculer l’aire de la boucle de l’arc paramétré x = t 3 − 3t, y = t 4 − 8t 2 . √ b) Calculer l’aire intérieure à la lemniscate d’équation polaire ρ = cos 2θ. 12.3 Exemples de calculs d’intégrales doubles Calculer les intégrales doubles D f (x,y) dx dy dans les exemples suivants : 1, 0 1, 0 y y x , x , f (x,y) = x 2 ex y f (x,y) = 1 (1 + x 2 )(1 + y2) . a) D

segment de droite [AB], de A(−1,0)vers B(1,1). ω dans les exemples suivants : (C) 12.2 Exemples de calculs d’aires planes a) Calculer l’aire de la boucle de l’arc paramétré x = t 3 − 3t, y = t 4 − 8t 2 . √ b) Calculer l’aire intérieure à la lemniscate d’équation polaire ρ = cos 2θ. 12.3 Exemples de calculs d’intégrales doubles Calculer les intégrales doubles D f (x,y) dx dy dans les exemples suivants : 1, 0 1, 0 y y x , x , f (x,y) = x 2 ex y f (x,y) = 1 (1 + x 2 )(1 + y2) . a) D

−6 ı 1 2 3 4 5 x Exercice 11.6. À l’aide de la calculatrice, représenter les courbes d’équations polaires : • ρ = aθ en faisant varier a (spirales d’A RCHIMÈDE ) ; • ρ = 2p ; sin2 θ • ρ = a cos 2θ en faisant varier a (lemniscates de B ERNOUILLI) ; cos θ • ρ = a cos θ + b en faisant varier a et b (limaçons de PASCAL) ; • ρ = a(1 + cos θ) (cardioïdes) ; • ρ = a sin bθ en faisant varier a et b. David Robert 67 Troisième partie Analyse : fonctions

(spirale logarithmique). 6.1.20 de C0 : Déterminer les développées successives x = sin t ch t + cos t sh t y = sin t sh t − cos t ch t. x = (1 + cos2 t)sin t y = sin2 t cos t x = a cos3 t , a > 0 (astroïde) e) y = a sin3 t √ f) ρ = cos 2θ , (lemniscate)  t t    x = p cos p − q cos q g) , ( p,q) ∈ R2 , 2 t t    y = p sin − q sin p q h) ρ = a(1 + cos θ), (a > 0) (cardioïde) 6.1.21 Soient Γ une courbe, enveloppe d'une famille (Dθ ) d'équations normales de droites x cos θ + y sin θ = p(θ)

θ 1 dθ = k dϕ ⇒ ϕ = k + b ⇒ V = aθ + b avec a = k − 1. = tan(aθ + b) ⇒ ρ = λ cos(aθ + b)−1/a si a = 0 ou ρ = λ eµθ si a = 0. k = 1 ⇒ Spirale logarithmique. k = 32 ⇒ Parabole de foyer O. k = 2 ⇒ Cardioïde. k = 31 ⇒ Hyperbole de centre O. k = −1⇒ Lemniscate de Bernouilli. ρ ρ 517 Correction de l’exercice 5007 1. 2. 3. asymptotes : y = ±x x − y ∼ 1/(4x) ⇒ aire infinie √ √ y = 0 ⇔ t = 0, ( 6 ± 2)/2 4. 3 asymptote : y = 2x − 16 (traversée) 518 5. asymptote : y = x 6. inflexions : tan 2t =

dϕ ⇒ ϕ = k + b ⇒ V = aθ + b avec a = k − 1. ρ −1/a si a = 0 ou ρ ρ = tan(aθ + b) ⇒ ρ = λ cos(aθ + b) = λ eµθ si a = 0. k = 1 ⇒ Spirale logarithmique. 2 k = 3 ⇒ Parabole de foyer O. k = 2 ⇒ Cardioïde. k = 1 ⇒ Hyperbole de centre O. 3 k = −1⇒ Lemniscate de Bernouilli. Correction de l’exercice 5007 439 1. 2. 3. asymptotes : y = ±x x − y ∼ 1/(4x) ⇒ aire infinie √ √ y = 0 ⇔ t = 0, ( 6 ± 2)/2 4. asymptote : y = 5. x 2 3 − 16 (traversée) 440 asymptote : y = x 6. t inflexions