Les Nuls

noyau de ϕ. (On dira que ϕ définit I’hyperplan H .) 1b. Que peut-on dire de deux formes linéaires définissant le même hyperplan ? Justifier ? 2. Soit f un endomorphisme de E de rang 1. 2a. Montrer qu’il existe une forme linéaire λ et un vecteur e non nuls de E tels que : ∀x ∈ E , f (x) = λ(x)e 2b. Montrer que T r (f ) = λ(e) (on pourrait compléter le vecteur e en une base de E). En déduire que f 2 = T r (f )f . 1 II Partie I 1. Soit t une transvection de E et soit H l’hyperplan de E apparaissant

Différentes expressions du produit scalaire : 1. Vecteurs colinéaires : Définition : soient et deux vecteurs colinéaires non nuls, tels que et . • Si et sont de même sens : . • Si et sont de sens contraires : . • Si ou alors . • est le carré scalaire du vecteur 2. Vecteurs quelconques : Propriété 1 : Soient et deux vecteurs non nuls tels que et . Alors : . A' et B' sont respectivement les projetés orthogonaux de A sur (OB) et de B sur (OA). 3. Propriétés

aucune espece de trafique ; nulle cognoissance de lettres ; nulle science de nombres ; nul nom de magistrat, ny de superiorité politique ; nul usage de service, de richesse, ou de pauvreté ; nuls contrats ; nulles successions ; nuls partages ; nulles occupations, qu'oysives ; nul respect de parenté, que commun ; nuls vestemens ; nulle agriculture ; nul metal ; nul usage de vin ou de bled. Les paroles mesmes, qui signifient la mensonge, la trahison, la dissimulation, l'avarice, l'envie, la detraction,

........................... .................................................................................................... RÉSULTATS CONCERNANT LE PREMIER TOUR A. Nombre d'électeurs inscrits B. Nombre de votants C. Bulletins blancs et nuls D. Suffrages valablement exprimés (B – C) A= B= C= D= Date du scrutin 1. Y a-t-il eu carence ? (cocher) Oui Non Nombre de listes présentées au premier tour Nombre de sièges à pourvoir par le collège P= Quotient électoral (2 décimales) D G

Quelques propriétés des nombres algébriquesDéfinitionsDéfinition d'un nombre algébrique Un nombre algébrique x est un nombre réel ou complexe qui satisfait une équation algébrique, c'est-à-dire une équation de la forme où les ai sont des entiers non tous nuls. Proposition Tout nombre rationnel est algébrique ; Le complexe pur i est algébrique ; est algébrique (α entier naturel non nul). Preuve : Soit . Alors * tel que et on a ainsi ; ; . Degré d'un nombre algébrique Si

radian = π π 2 π 3 π 4 π 6 π 180 180 ≃57,30 ° π 2. Angle orienté d'un couple de vecteurs 2.1) Angles géométriques, angles orientés Définition 3. Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs non nuls. Soient A et B deux points du plan tels que ⃗u =⃗ OA et ⃗v =⃗ OB . Alors : • Les deux angles ̂ AOB et ̂ BOA sont des angles géométriques de même mesure, toujours positive: ̂ AOB=̂ BOA ; OA et ⃗ OB est un angle orienté • L'angle (⃗u , ⃗v

polynômes non nuls. L’idéal engendré par A et B est A.K[X] + B.K[X] = {AU + BV, (U, V) ∈ K[X]}. Le PGCD de A et B est l’unique polynôme D unitaire tel que AK[X] + BK[X] = DK[X]. C’est un diviseur commun à A et B et tout diviseur de A et B divise D. Les diviseurs communs à A et B sont les diviseurs de D. Théorème de Bézout. Soient A et B deux polynômes non nuls. A et B sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômes U et V tels que AU + BV = 1. Théorème. Deux polynômes non nuls sont premiers

désigne le plan P privé du point origine O. 1) On prend comme pré-requis les résultats suivants : Si z et z’ sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg (zz’) = arg (z) + arg (z’) à 2kπ près, avec k entier relatif. Pour tout vecteur non nul d’affixe z on a : arg (z) = () à 2kπ près, avec k entier relatif. a) Soit z et z’ des nombres complexes non nuls, démontrer que : arg = arg(z) – arg(z’) à 2kπ près, avec k entier relatif. b) Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux

rectangulaire de p lignes et de n colonnes. aij : est l’élément de la matrice Apn de la ième ligne et de la jème colonne. 3. MATRICE NULLE, EGALITE, TRANSPOSITION On appelle matrice nulle de dimension (p, n), la matrice dont tous les éléments sont nuls c’est à dire : aij = 0 (1ip, 1jn) Deux matrices sont égales lorsqu’elles représentent, par rapport à des bases données, la même application linéaire. L’égalité A = B équivaut donc, pour les éléments de A et B, aux relations : A = B aij

TD outils utiles en mécanique EXERCICE 1: Soit le repère vectoriel R x y z( , , )r r r et ),,( →→→ WXV trois vecteurs non nuls. Si on a l’égalité suivante →→→ ∧ WXV = ; rechercher l’équation vectorielle donnant → X en fonction de →→ WV et . EXERCICE 2 : Soit le repère vectoriel ),,( zyxR rrr et [ ]r r r V V V1 2 3, , trois vecteurs quelconques non nuls, rechercher l’égalité suivante en explicitant le résultats trouvés. [ ]( ). . .( ) r r r r r r V V V V V V1 2 3 3 1 3∧ ∧ = ?