Les Nuls

deux vecteurs − − Pour construire la somme de deux vecteurs non nuls → et → : u v → partant de l’extrémité de →. − − 1) On trace le représentant de v u − − 2) On joint l’origine de → avec l’extrémité du représentant de → que l’on vient de tracer. On obtient alors un représentant de u v → + →. − − u v v représentant de v 1 u 2 u+v 4 Multiplication d’un vecteur par un réel − − Pour tout réel k et pour tout vecteur → non nuls, le vecteur k→ est tel que : u u → et k→ sont de même direction

de deux vecteurs − − Pour construire la somme de deux vecteurs non nuls → u et → v : → − → − 1) On trace le représentant de v partant de l’extrémité de u . − − 2) On joint l’origine de → u avec l’extrémité du représentant de → v que l’on vient de tracer. On obtient alors un représentant de → − → − u + v. v représentant de v 1 u 2 u+v 4 Multiplication d’un vecteur par un réel − − Pour tout réel k et pour tout vecteur → u non nuls, le vecteur k→ u est tel que : → − → − • u et k u sont de même direction

..........................................................................16 Finalisation.........................................................................................................................................20 Le récap' pour les nuls........................................................................................................................21 Mode Avancé..................................................................................................................

donc tous les termes des deux produits sont n´cessairement nuls ce qui donne les deux s´rie d’´galit´s. e e e e Condition suffisante : Si les conditions sont vraies on a : y ∗ b = y ∗ Ax ∗ et y ∗ Ax∗ = cx∗ donc les deux fonctions objectif sont ´gales et donc x∗ et y∗ sont optimales. e Remarque : si le primal est en forme standard, alors la premi`re ´galit´ est ´vidente car e e e e Ax∗ = b et donc tous les coefficients de y∗i sont nuls. 

non-négativité ») ces variables ou inconnues peuvent être accompagnées de coefficients positifs, négatifs ou nuls, de même, le second membre peut être composé de réels positifs, négatifs ou nuls. c) d'une « fonction économique » ou « fonction - critère » à maximiser ou à minimiser (ex. : P1 y1 + P2 y2 +.........Pj yj + Pn yn = B) dans laquelle les coefficients Pi peuvent être positifs, négatifs, nuls. D'une façon générale, la programmation linéaire a pour but la recherche de l'optimum d'une fonction

un entier naturel. On admet que la somme des n premiers carrés non nuls est égale à f (n ) où x ( x + 1)(2x + 1) f est la fonction définie sur  » par : f ( x ) = . 6 n (n + 1)(2n + 1) . Par exemple : 6 1× (1+ 1) × (2 × 1+ 1) 2 × (2 + 1) × (2 × 2 + 1) 12 = f (1) = et 12 + 22 = f (2) = . 6 6 On a donc : 12 + 22 + ... + (n − 1)2 + n 2 = 1  alculer  f (100 ).  Que vaut la somme des 100 premiers carrés non nuls (c’est-à-dire C 12 + 22 + ... + 992 + 1002 ) ? 2  n admet que

majorité ; ⇨ Le prodigue ; ⇨ Le faible d’esprit LES ACTES DES PERSONNES JOUISSANT D’UNE CAPACITÉ LIMITÉE Les actes des personnes jouissant d’une capacité limitée sont : 1. Valables, s’ils leur sont pleinement profitables ; 2. Nuls, s’ils leur sont préjudiciables ; 3. s’ils revêtent un caractère à la fois profitable et préjudiciable, leur validité est subordonnée à l’approbation de son représentant légal, accordée en tenant compte de l’intérêt prépondérant de l’interdit

la presse ivoirienne, le président de la CEI a présenté aux rares journalistes étrangers présents des résultats correspondant à une participation de 81,1 % : Bureaux de vote : 19 854 | Inscrits : 5 784 490 | votants : 4 689 321 | blancs et nuls : 99 147 | Laurent Gbagbo : 2 107 055 | Alassane Ouattara : 2 483 164 | La différence de voix est de 376 109 en faveur d'Alassane Dramane Ouattara. Celui-ci obtiendrait alors 54,1 % des suffrages exprimés, contre 45,9 % à Laurent Gbagbo.

les bases des opérations sur les segments orientés pour les besoins de la mécanique : addition de forces, de vitesses... Le calcul vectoriel prend alors réellement son essor. I. Colinéarité de deux vecteurs Définition : Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires signifie qu’ils ont même direction c’est-à-dire qu’il existe un nombre réel k tel que u = kv . Critère de colinéarité : x  x' Soit u et v deux vecteurs de coordonnées   et   dans un repère (O, i , j ).  y

donc héréditaire. 16 © Cned - Académie en ligne Séquence 6 – MA02 Conclusion : Pour tout n dans ( ) »∗ , z n = ( z ) . n On utilise les exposants négatifs comme dans » et, en utilisant la propriété sur les inverses des nombres complexes non nuls, on obtient −n  1 1 1 pour tout entier naturel n non nul. z −n =  n  = = n = z  z  zn z ( ) ( ) () () ( ) ( )n . On pose enfin z 0 = 1 et on peut conclure : pour tout entier n dans », z n = z Remarque On peut préférer retenir certaines