Lin

Kespaces vectoriels norm´s r´els et f : E → F une application. e e 1. On suppose que K = R et f est born´e sur la boule unit´ de E telle que : e e ∀(x, y) ∈ E 2 : f (x + y) = f (x) + f (y) Montrer que f est une application lin´aire continue sur E e 2. On suppose que f est lin´aire v´rifiant : e e (f (xn ))n∈N est born´e dans F pour toute suite (xn )n∈N de E tendant vers 0 dans E. e Montrer que f est continue Exercice 2 : Soit (E, ||.||E ) et (F, ||.||F )deux K-espaces vectoriels norm´s e soit u ∈

vectoriel norm´ et d’application lin´aire continue, e e e afin de fournir un cadre coh´rent pour l’´tude des suites, des s´ries et des fonctions et celle des suites et des s´ries e e e e de fonctions. L’int´gration, la repr´sentation des fonctions, notamment par des s´ries (s´ries enti`res, s´ries de e e e e e e Fourier) et par des int´grales d´pendant d’un param`tre, l’approximation des fonctions, l’´tude des ´quations e e e e e diff´rentielles (notamment des syst`mes lin´aires), l’´tude des fonctions

compression, un bon confort acoustique et une bonne conductivité thermique. Une fois la formulation trouvée, il y a une mise en éprouvette (normalisée) afin d’effectuer des tests de résistances mécanique. Ici il s’agit des cylindres de béton de lin. On retrouve toutes sortes de machines : étuve, presse mécanique, surgélateur. On observe que les matériaux nécessaires à la fabrication de ce parpaing changent mais pas la forme, ni ses caractéristiques mécaniques. La visite

de F . e Exercice 4 – Soit E un R espace vectoriel de base (e1 , e2 ). On pose u1 = e1 +e2 et u2 = e1 −e2 . 1) Montrer par deux m´thodes que la famille (u1 , u2 ) est une base. e 2) Exprimer par deux m´todes e1 , puis e2 comme une combinaison lin´aire de u1 , u2 . e e 3) Si un vecteur u de E a pour coordonn´es (A, B) dans la base (u1 , u2 ), quelles sont les coore donn´es (a, b) de u dans la base (e1 , e2 ) et inversement ? e Exercice 5 – On consid´re le sous-espace vectoriel F1 de R4

Introduction M´thode graphique e Simplexe Dualit´ e Introduction M´thode graphique e Simplexe Dualit´ e Recherche op´rationnelle e Tentative de d´finition e Programmation lin´aire et recherche e op´rationnelle e Ensemble de m´thodes (algorithmiques, math´matiques, e e mod´lisation) afin de prendre des d´cisions optimales ou proches e e de l’optimum dans des probl`mes complexes, qui traitent de la e maximisation d’un profit ou la minimisation d’un coˆt

Alg`bre lin´aire dans Rn e e Licence de Sciences et Technologie Deuxi`me semestre e Julien Br´mont et Rapha¨l Danchin e e Ann´e 2008–09 e 2 Table des mati`res e 1 Syst`mes lin´aires e e 1.1 Quelques exemples ´l´mentaires . . . . . . . . . . . . . . . . ee 1.2 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3 R´solution des syst`mes ´chelonn´s . . . . . . . . . . . . . . e e e e 1.3.1 Syst`mes triangulaires a diagonale non nulle . . . . . e ` 1.3.2 Syst`mes ´chelonn´s

− a)(s − b)(s − c) avec s= a+b+c 2 1 Exercice 2 (25pts) x + ln x = 0. Equations non-lin´aires. S´parez les racines de l’´quation e e e (2) Ecrivez l’it´ration de Newton pour calculer la racine x∗ ∈ [0, 1] de e x + ln x = 0. (3) Calculer x1 si x0 = x∗ = 0.567, 143, 3 1 . 2 V´rifiez la convergence avec le test 100 e | x1 − x∗ | ≤ 0.1 et | x∗ | Exercice 3 (25pts) Syst`mes lin´aires -- M´thode directe. La d´composition e e e e LU de la matrice A est donn´e ci-dessous. Calculez

él èv e 1. 1 h 30 La F ar ce d e m aî tr e P at he lin : A ct e I, sc èn e 1. E nt re r d an s l’h is to ir e. D éc ou vr ir le p er so nn ag e d e P at he lin , s a si tu at io n di ffi ci le e t le s p ri nc ip au x ch am p s le xi ca ux d e l’œ u vr e. Le ct ur e du p ro fe ss eu r. Q ue st io nn ai re d e le ct ur e. Vo ca b ul ai re . 2 Fi ch e él èv e 2. 1 h 30 La F ar ce d e m aî tr e P at he lin : A ct e I, sc èn es 2 , 3 , 4 . É tu di er la m is

solide et durable, qui résiste très bien à l'abrasion. LIN Caractéristiques C'est un tissu fabriqué à partir des fibres de la plante de lin. La production du lin nécessite une main d'œuvre importante, ce qui explique qu'il soit produit en faible quantité et que son coût soit élevé. Le lin compte parmi les fibres végétales les plus solides et possède une résistance 2 à 3 fois supérieure à celle du coton. Avantages Bon conducteur de chaleur, le lin a une grande capacité d'absorption et est frais au

Enonc´ e Dual topologique d’un espace compactes de 2 p . Exemples de parties Dans tout le probl`me le corps de base des espaces vectoriels consid´r´s est C . Lorsque (E , · ) e ee est un espace vectoriel norm´, E d´signe l’espace des formes lin´aires continues sur (E , · ) . e e e Partie I [ I ] [ S ] 1) On d´signe par B la boule ferm´e unit´ de E , c’est ` dire l’ensemble des vecteurs x de e e e a E tels que x 1 . Montrer que l’on d´finit une norme | · | sur E par la formule : e ∗ ∗ ∗ ∀ x