Loi des grands nombres

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6 Th´or`mes de convergence e e 6.1 Rappel: Notions de convergence 6.2 Convergence presque sˆre . . . u 6.3 Convergence dans Lp , p > 1 . . 6.4 Convergence dans L1 . . . . . . 6.5 Loi 0 − 1 de L´vy . . . . . . . . e 6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . 39 39 40 42 43 46 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

expérience ; pour cela on détermine l’univers et on associe à chaque événement élémentaire un nombre appelé probabilité. Loi des grands nombres (énoncé expérimental) Quand on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire pouvant conduire à des résultats a1, a2, …, an, la fréquence de réalisation de chaque événement élémentaire {ai} se stabilise aux environs d’un nombre pi compris entre 0 et 1. Ce nombre peut être considéré comme la probabilité de réalisation de l’événement {ai}. 1 2

donc que la production et la vente sans autorisation, ainsi que le recel, sont passibles de poursuites. Les demandes d’autorisation de photocopier doivent être adressées à l’éditeur ou au Centre français d’exploitation du droit de copie : 20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris. Tél. : 01 44  07 47 70. ÉCO LE TE O LY P C IQ HN UE ÉCO LE E LY T PO CH U NIQ E ÉCO LE TE O LY P CH U NIQ E © Éditions de l’École Polytechnique - Décembre 2010 91128

G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 3.2.1 Variable al´atoire discr`te . . . . . . . . . . . e e 3.2.2 Loi d’une variable al´atoire discr`te . . . . . . e e 3.2.3 Fonction de r´partition . . . . . . . . . . . . . e 3.3 Lois discr`tes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.1 Lois de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Loi uniforme sur un ensemble fini de r´els . . e 3.3.3 Lois binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Lois hyperg´om´triques

atoire, e e ` e on d´ finit une loi de probabilit´ sur E en associant a chaque issue xi un e nombre pi tel que : • pour tout entier i tel que 0 pi 1 ; • p1 + p2 + . . . + pn = 1. pi est appel´ e probabilit´ de l’issue xi . e e Propri´ t´ : ee Si on r´ p` te une exp´ rience al´ atoire dont les issues sont {x1 ; x2 ; . . . ; xn } un e e e e nombre n de fois, alors • les fr´ quences d’apparition des xi v´ rifient f1 + f2 + . . . + fr = 1 et 0 e e fi 1 ; • si n devient grand, les fr´ quences se stabilisent

. 3.2 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Variable al´eatoire discr`ete . . . . . . . . . . . 3.2.2 Loi d’une variable al´eatoire discr`ete . . . . . . 3.2.3 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . 3.3 Lois discr`etes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Lois de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Loi uniforme sur un ensemble fini de r´eels . . 3.3.3 Lois binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Lois hyperg´eom´etriques

répartition des nombres pairs dans l'univers Ω = {1 ; 2 ; 3; 4 ; 5 ; 6} est identique à celle des nombres pairs dans B. Traduit sous forme de probabilité, cela donne : [pic]. On peut aussi simplement observer que : [pic] et que [pic]. D'autre part, les événements A =« obtenir un nombre pair » = {2; 4; 6\} et C = « obtenir au moins 4 » = {4; 5; 6} ne sont pas indépendants car la répartition des nombres pairs dans l'univers

L’enquête c’est pour savoir, mais, au final pour mener une action opérationnel. B La prise en compte des contraintes 1 Le budget Le budget va vous influencer sur le nombre de question posée, comment je vais administrer le questionnaire, la taille de l’échantillon. 2 Le délai Le choix du mode d’administration et du nombre de question ainsi que la taille de l’échantillon dépendent également du délai, certaines enquêtes nécessitent des réponses extrêmement rapides. C Constitution de l’échantillon

test…………………………………………..……………………………………………...4 3.2. Application et décision…………………………………………..…………………………….…..4 3.3. Ajustements à différentes lois de probabilité connues………………..….6 3.3.1. Ajustement à une loi binomiale …………..…………….…………………….6 3.3.2. Ajustement à une loi de poisson …………..………………………………...6 3.3.3. Ajustement à une loi normale …………..………………………………….….7 4. Test du χ2 d'égalité des distributions…………………………….………....8 4.1. Principe du test…………………………………………..……………………………………….……..8 4.2. Application et décision…………………………………………

assurés pour couvrir leurs risques. En réalité, les sinistres vont osciller autour d'une moyenne statistique. Pour coller au plus près à cettemoyenne statistique, conformément à la loi des grands nombres, l'assureur va souscrire le plus grandnombre possible de risques, c'est à dire qu'il va collecter le plus grand nombre de primes sur desrisques similaires, de façon à être capable de payer les quelques sinistres qui vont survenir : c'est leprincipe de la mutualisation . Pour réduire sa probabilité