Matrice aléatoire

Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l’année 2005-2006 1 Devoir à la maison Exercice 1 Soient a, b, c des réels vérifiant a2 + b2 + c2 = 1 et P la matrice réelle 3 × 3 suivante :   2 a ab ac P = ab b2 bc ac bc c2 1. Calculer le déterminant de P. 2. Déterminer les sous-espaces vectoriels de R3 , ker P et Im P. 3. Soit Q = I − P, calculer P2 , PQ, QP et Q2 . 4. Caractériser géométriquement P et Q. Correction [002578] Exercice 2 Soit E un espace

- Notation et relations de base On sait que le comportement dynamique des structures mécaniques conservatives peut être représenté par l’équation matricielle suivante : M y(t)+ K y(t) = f(t) (2) 1 où M et K sont respectivement les matrices réelles symétriques Masse et Raideur de dimension (n , n) ; M Supposée définie positives, K non négative. f(t) représente le vecteur des forces excitatrices. En régime harmonique, f(t)=f.e , où s=j , étant la pulsation de la force excitatrice

1) Montrer en utilisant la d´finition que B = (e1 + e2 + e3 , e2 + e3 , e3 ) est une base de E. e Pourquoi aurait-il ´t´ suffisant de montrer que la famille (e1 + e2 + e3 , e2 + e3 , e3 ) ´tait libre ou ee e g´n´ratrice ? e e 2) Quelle est la matrice P de passage de la base B a la base B ? Calculer P −1 . ` En d´duire les coordonn´es dans la base B d’un vecteur de coordonn´es (x1 , x2 , x3 ) dans la e e e base B. En d´duire les coordonn´es de e1 , e2 et e3 dans la base B ? e e Exercice

égale à la trace de la matrice de variance-covariance des données X définie par : V = (X— —l x) Où I désigne la matrice unite. L'inertie étant invariante par translation, on petit centrer les données par X = , et obtenir une relati simple entre I 'inertie et la matrice de variance-covariance sur les nouvelles donngcs centrées X : In Trace(XTX). Pour des données centrées et réduites Trace(XTX) = n. En considérant le sous-espace de dimension q < n et en notant v n la matrice associée au projecteur

= (e1 , e2 , e3 ). 2. Dire s’il est vrai ou faux qu’on a v · v > 0 pour tout vecteur v non nul. Justifier rigoureusement la réponse. 3. Exprimer la matrice de passage P entre la base canonique et la base des vecteurs suivants        1 1 1       B = e1 = 0 , e2 = 1 , e3 = 1 . 0 0 1 4. 5. 6. 7. 8. 9. On rappelle que P est la matrice représentative de l’application identité de R3 muni de la base B dans R3 muni de la base canonique. Dire si la base B est orthonormée. Exprimer le produit

entre 20% et 40% de l’eau totale de notre corps, c’est un véritable réservoir d’eau. L’épaisseur du derme augmente pendant l’enfance, puis stationnaire à l’âge adulte et diminue après 50 ans. Composants du derme : *La substance fondamentale (ou matrice extracellulaire) est une subst. visqueuse où baigne les fibres et les cellules. Elle est composée d’eau de sels minéraux, de protéines (ex glucosamunoglicone). *Les cellules fixent les fibroblastes et les cellules mobiles (globules blancs). *3 sortes

conjonctif (derme) III. Derme Tissu conjonctif qui permet le soutien et la nutrition de l'épiderme et des annexes cutanées (poils, ect..). Il est formé de : Fibroblastes -> constitut matrice extracellulaire (liquide intersticielle des cellules) Leucocytes -> cellules de défense de l'organisme Matrice extracellulaire -> composée de fibres d'élastine et collagène Substance fondamental -> Macro molécule et acide hyaluronique (fixe l'eau dans les trissus) Eau 1) Structure du derme (Schéma

tn−1 2 . . .     ,    b=  tn−1 m b1 b2 . . . bm         et x =   α0 α1 . . .    .  αn−1 Le polynome de moindres carrés est unique parce que Am×n est une matrice de Vandermonde avec n ≤ m, et donc rank(A) = n. 3 1.3 Résolution numérique des équations normales – instabilités d’une résolution directe par élimination de Gauss et même par factorisation de Cholesky – QR (Householder) et SVD factorisations

des cellules des crêtes neurales durant leur migration, alors que des intégrines membranaires apparaissent. Pour se déplacer, les cellules se lient par des récepteurs membranaires spécifiques (intégrines, nouvellement apparues) aux molécules de la matrice extracellulaire (fibronectine et laminine). La capacité migratoire des cellules des crêtes neurales est également due à leur activité protéasique qui facilite la progression des cellules, en lysant les membranes basales. Les cellules des crêtes neurales

chapitre Chapitre 17 Matrices et applications linéaires Sommaire 17.1 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.1 Matrice d’une famille de vecteurs dans une base . . . . . . 17.1.2 Matrice d’une appn linéaire dans un couple de bases . . . . 17.1.3 Coordonnées de l’image d’un vecteur par une appn linéaire 17.1.4 Propriétés opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.1 Matrice de passage d’une