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Pages: 25 (6042 mots) Publié le: 24 juin 2014
Enoncés et corrections : Sandra Delaunay

Exo7

Sujets de l’année 2005-2006

1

Devoir à la maison

Exercice 1
Soient a, b, c des réels vérifiant a2 + b2 + c2 = 1 et P la matrice réelle 3 × 3 suivante :

 2
a ab ac
P = ab b2 bc
ac bc c2
1. Calculer le déterminant de P.
2. Déterminer les sous-espaces vectoriels de R3 , ker P et Im P.
3. Soit Q = I − P, calculer P2 , PQ, QP etQ2 .
4. Caractériser géométriquement P et Q.
Correction

[002578]

Exercice 2
Soit E un espace vectoriel sur un corps K (K = R ou C), et u un endomorphisme de E. On suppose u nilpotent,
c’est-à-dire qu’il existe un entier strictement positif n tel que un = 0.
1. Montrer que u n’est pas inversible.
2. Déterminer les valeurs propres de u et les sous-espaces propres associés.
CorrectionExercice 3
Soit M la matrice de R4 suivante

[002579]



0
2
M=
0
0


1 0 0
0 −1 0

7 0 6
0 3 0

1. Déterminer les valeurs propres de M et ses sous-espaces propres.
2. Montrer que M est diagonalisable.
3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage.
4. On a D = P−1 MP, pour k ∈ N exprimer M k en fonction de Dk , puis calculer M k .Correction

[002580]

1

2

Partiel

Exercice 4
Soit u l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est


−3 −2 −2
1
2
A= 2
3
3
2
1. Déterminer et factoriser le polynôme caractéristique de A.
2. Démontrer que les valeurs propres de A sont −1 et 2. Déterminer les sous-espaces propres associés.
3. Démontrer que A est diagonalisable et donner une base de R3 danslaquelle la matrice de u est diagonale.
4. Trouver une matrice P telle que P−1 AP soit diagonale.
Correction

[002581]

Exercice 5
Soit a ∈ R et A la matrice suivante



1 0 a
A = 0 a 1
a 1 0

1. Calculer le déterminant de A et déterminer pour quelles valeurs de a la matrice est inversible.
2. Calculer A−1 lorsque A est inversible.
Correction

Exercice 6


1
0
Soit A = 0
0

[002582]

2
1
0
0

0
2
1
0


0
0
. Expliquer sans calcul pourquoi la matrice A n’est pas diagonalisable.
2
1

Correction

[002583]

Exercice 7
Soit A une matrice 2 × 2 à coefficients réels. On suppose que dans chaque colonne de A la somme des coefficients est égale à 1.
1. Soient (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) deux vecteurs de R2 , on suppose que
A

x1
x2

=y1
y2

montrer qu’alors
y1 + y2 = x1 + x2 .
2. Soit le vecteur ε = (1, −1), montrer que c’est un vecteur propre de A. On notera λ sa valeur propre.
3. Montrer que si v est un vecteur propre de A non colinéaire à ε, alors la valeur propre associée à v est
égale à 1.
4. Soit e1 = (1, 0). Montrer que la matrice, dans la base (e1 , ε), de l’endomorphisme associé à A est de la
forme
1 0
,
αλ
où α ∈ R.
En déduire que si λ = 1, alors A est diagonalisable sur R.
2

Correction

[002584]

Exercice 8
Soient A et B des matrices non nulles de Mn (R). On suppose que A.B = 0.
1. Démontrer que Im B ⊂ ker A.
2. On suppose que le rang de A est égal à n − 1, déterminer le rang de B.
Correction

3

[002585]

Examen

Exercice 9
I
Soit α ∈ R et Aα ∈ M3 (R) la matricesuivante



−1 0 α + 1
0 
Aα =  1 −2
−1 1
α
Première partie :
1. Factoriser le polynôme caractéristique PAα (X) en produit de facteurs du premier degré.
2. Déterminer selon la valeur du paramètre α les valeurs propres distinctes de Aα et leur multiplicité.
3. Déterminer les valeurs de α pour lesquelles la matrice Aα est diagonalisable.
4. Déterminer selon la valeur de α le polynômeminimal de Aα .
Seconde partie :
On suppose désormais que α = 0, on note A = A0 et f l’endomorphisme de R3 associé à la matrice A.
1. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A.
2. Démontrer que f admet un plan stable (c’est-à-dire f -invariant).
3. Démontrer qu’il existe une base de R3 dans laquelle la matrice de f est


−1 1
0
B =  0 −1 1 
0
0 −1
et trouver une...
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