Université Pierre et Marie Curie-Paris 6 - CNED - 1M005 - Devoir n◦ 1

Ce devoir est basé sur le première partie (“Algèbre Linéaire”) du texte de cours disponible sur la plateforme Sakai (voir 1M005_CoursAlgebre_15.pdf). Les exercices des feuilles 1-5 contenus dans 1M005_TD_15.pdf sur Sakai constituent un bon entrainement.
Rédiger de façon claire et justifier rigoureusement les réponses.

Exercice 1.
Considérer deux vecteurs v et w de R3 et leur produit scalaire v · w ∈ R.
1. Exprimer le produit scalaire v · w en fonction des coordonnées de v et de w dans la base canonique B = (e1 , e2 , e3 ).
2. Dire s’il est vrai ou faux qu’on a v · v > 0 pour tout vecteur v non nul. Justifier rigoureusement la réponse.
3. Exprimer la matrice de passage P entre la base canonique et la base des vecteurs suivants

 
 
 
1
1
1






B = e1 = 0 , e2 = 1 , e3 = 1 .
0
0
1

4.
5.

6.
7.

8.
9.

On rappelle que P est la matrice représentative de l’application identité de R3 muni de la base B dans R3 muni de la base canonique.
Dire si la base B est orthonormée.
Exprimer le produit scalaire v · w en fonction des coordonnées x1 , x2 et x3 de v et des coordonnées y1 , y2 et y3 de w dans la base B . On note avec f (x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 ) l’expression obtenue.
Dire si (x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 ) → f (x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 ) est une application linéaire.
Dire s’il est vrai ou faux que f (a, b, c, a, b, c) = 0 si et seulement si a = b = c =
0. Démontrer que, lorsque les coordonnées a, b et c ne sont pas toutes nulles, alors f (a, b, c, a, b, c) est strictement positif.
Soit M la matrice formée par les entrées mi,j = ei · ej ; soit M la matrice formée par les entrées mi,j = ei · ej . Exprimer M en fonction de M et P .
Calculer le produit M P −1 ou P −1 est la matrice inverse de P .

Exercice 2.
Écrire une équation du plan Π dans R3 passant par les points de coordonnées (1, 1, 2),
(2, 1, 1) et contenant la droite D passant par (1, 1, 2) et dirigée par (0, 1, −1).