Matrice orthogonale

norme L2 ou norme moyenne quadratique. On notera d2 (f, g) = f − g 2 la distance associ´e. e Th´or`me 1 – Il existe une suite de polynˆmes unitaires (pn )n∈N , deg(pn ) = n, e e o orthogonaux 2 ` 2 pour le produit scalaire de E. Cette suite est unique. Les a e o polynˆmes pn sont appel´s polynˆmes orthogonaux pour le poids w. o D´monstration. On construit pn par r´currence ` l’aide du proc´d´ d’orthogonae e a e e e lisation de Schmidt. On a p0 (x) = 1, puisque p0 doit ˆtre unitaire

matériau, par une décharge électrique, ou en envoyant de la lumière dans le matériau comme nous l'avons décrit auparavant. En se référant à ce dernier cas, si l'on veut analyser la lumière émise, on effectuera nos observations dans une direction orthogonale à celle de la lumière entrante (pour ne pas être dérangé par cette lumière). Un deuxième prisme P2 est inséré pour décomposer le rayonnement émis par le gaz, et celui-ci est collecté sur la plaque L2. Sur L2 on peut voir, sur un fond sombre, des

mSR . cos(α − 4Π / 3). iR 2   i  lS   iS 3   mSR . cos(α − 4Π / 3) mSR . cos(α − 2Π / 3) mSR . cos(α )   R3     [LS] [MSR] ms lS mS (3.1) [LS] : matrice [3,3] est appelée matrice inductance du stator et [MSR] : matrice [3,3] également, est la matrice inductance mutuelle entre le stator et le rotor. [MSR] est une matrice circulante en ce sens que la 2ème ligne est obtenue à partir de la 1ère en décalant d’un cran vers la droite chaque terme. De façon similaire, on aura au rotor :

L2 (Ω, A, µ), on définit le produit scalaire < f, g >= f.g dµ. On muni ainsi L2 (Ω, A, µ) d’une structure d’espace de Hilbert. On dira que f est orthogonale à g lorsque < f, g >= 0. Si A est un sous-espace vectoriel fermé de L2 (Ω, A, µ) (par exemple un sous-espace de dimension finie), alors pour tout f ∈ L2 (Ω, A, µ), il existe un unique projeté orthogonal de f sur A, noté PA (f ), qui vérifie PA (f ) = Arginf g − f 2 . g∈A 1.2 1.2.1 Applications de la théorie de la mesure et de l’intégration

variable, sont mutuellement orthogonaux. Leur r´union forme e e le sous-espace E (j) de la valeur propre j(j + 1) de J 2 . D´monstration : e Les vecteurs de base |τ j µ et |τ j µ sont orthogonaux si µ = µ car ils correspondent ` des valeurs a propres diff´rentes de Jz . Ceci est une cons´quence de l’hermiticit´ de Jz : e e e τ j µ|Jz − Jz |τ j µ (µ − µ ) τ j µ|τ j µ si µ = µ , alors on a forc´ment e τ j µ|τ j µ = = = 0 0 0. Si µ = µ , on prouve que les vecteurs sont orthogonaux en appliquant (j − µ)

produire et/ou recevoir une onde selon une polarisation déterminée. On considère généralement deux grands types d’antennes pour les réseaux mobiles : les antennes de même polarisation (rectiligne), dites copolarisées, et les antennes de polarisations orthogonales, dites à polarisation croisée (cross-polarized). La figure suivante illustre ces deux grands types, pour 2 et 4 antennes. Figure 3-7 Configurations d’antennes typiques pour les réseaux mobiles, pour 2 et 4 antennes Tout ce que nous avons dit

réel) noté : V1 • V2 tel que : ∀ V1 , V2 ∈ R 3 V1 • V2 = V1 V2 cos(V1 , V2 ) ; → → → → → → → → ⇒ V1 • V2 ∈ R → → le résultat d’un produit scalaire est un scalaire. Le produit scalaire est nul, si : Les deux vecteurs sont orthogonaux ; L’un des vecteurs est nul. 7.1 Propriétés du produit scalaire ⎛ → → ⎞ → → → → → a) linéarité : ⎜ V1 + V2 ⎟ • W = V1 • W + V2 • W ⎠ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ λ V ⎟ • W = λ ⎛V • W ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ →⎞ ⎠ → → → ⎝ ⎠ → → → → → → → → b) symétrie par rapport

représente une série statistique ainsi que sa médiane, ses quartiles et ses valeurs extrêmes : Intervalle interquartile ]Q1 ; Q3 [ Ecart interquartile Q3 − Q1 Une série statistique double de n couples ( xi ; yi ) se représente, dans un repère orthogonal bien choisi, par un nuage de points. Le point moyen G est le point dont les coordonnées sont xG = x = ∑x i =1 i =n i (moyenne des séries) n n Selon la forme du nuage, on peut l’ajuster de manière affine, quadratique (carré/racine

intermédiare, ce codage conduisant à un bon conditionnement des matrices du modèle et à une bonne précision de la résolution des systèmes linéaires. Pour chaque plan les réalisations du modèle sont notées sous la forme matricielle suivante où chaque ligne corr-respond à un essai : Y=XA+e X = {I | x1 | x2 | x1x2 | … } matrice des réalisations du modèle Y vecteur des observations ; e vecteur erreur aléatoire, centré : E(e) = 0. 30 Les 3 matrices X relatives aux trois plans seront détaillées plus loin

produire est déterminé par le plus petit des deux termes suivants: soit « le nombre de variables X dans l'analyse », soit « le nombre de groupes à discriminer - 1 ». Notez toutefois que les fonctions discriminantes extraites successivement sont orthogonales, c'est à dire indépendantes les unes des autres et qu'elles contribuent de moins en moins à la discrimination. En corollaire, on constate que les fonctions extraites plus tardivement dans une analyse sont généralement de plus en plus difficiles