Nabla

de Rn , x0 ∈ Rn et f : U ⊂ Rn −→ R est une application diff´ erentiable en x0 on note : ∂f  ∂x1 (x0 )   ..  .   ∂f (x0 ) ∂xn      ∈ Rn   an ∇f (x0 )  Je le vecteur gradient de f en x0 (on prononce ”nabla f de x0 ”). On a alors le d´ eveloppement de Taylor-Young de f a ` l’ordre 1 au voisinage de x0 : f (x) = f (x0 ) + ∇f (x0 ), x − x0 + o( x − x0 ) Lorsque l’application f : U ⊂ Rn −→ R est 2 fois diff´ erentiable en x0 on note : igh t:

Propriétés de l'opérateur retard : - Ba = a , l'opérateur d'une constante a est une constante. - --°yt = yt . - (Bi + Bi)yt = Biyt+Biyt = yt-t+yt-i . - Bi(Biyt) = Bi+jyt = yt-t-i L'opérateur de différenciation ? : L'opérateur ? (prononcé « nabla ») est défini par : 1. Bernard Rapacchi, centre interuniversitaire de Grenoble 1993 ?yt = yt - yt-1 . Nous entrons maintenant dans des considérations de notation. En effet, par écriture purement formelle on peut écrire : ? yt = yt - Byt = (1- B)yt 

Maxwell dans le vide (pas de charges) ∇.E=0 ∇∧E =− ∂B ∂t div .B=0 ∇ .B=0 ∇ .B=0 rot ∧B =µJ +εµ ∂E ∇∧B=µ J +εµ ∂E ∂t ∂t avec J =σE ∇∧B=εµ ∂E ∂t Rappel mathématique sur les notations : Rotationnel gradient et divergence: Opérateur NABLA : Pour simplifier les écritures on définit un opérateur (une fonction qui s'exerce sur les composantes d'un vecteur) : ∂ ∂x ∇= ∂ ∂y ∂ ∂z Cet opérateur nous simplifie l'écriture du rotationnel de la divergence et du gradient : Divergence : A

fonction de vitesse potentiel gravitaire énergie totale nombre sans dimension masse volumique contrainte contrainte normale angle de pente contrainte de cisaillement contrainte de cisaillement à la paroi variable de similitude tenseur identité opérateur nabla 9 Propriétés des fluides 1.1 1.1.1 1 (c) Définition physique d’un fluide États de la matière Il y a trois états de la matière (voir figure 1.1) pour un corps simple : – solide : matériau à faible température ; – liquide : matériau

e e e e rapport aux coordonn¶es contravariantes de l'¶v¶nement: e e e @¹ = @ : @x¹ (2.76) e Il est ¶vident que les 4 quantit¶s @ ¹ forment les quatre composantes covariantes d'un op¶rateur e e di®¶rentiel vectoriel qui g¶n¶ralise la notion de \nabla" a notre espace a quatre dimensions. Leur e e e µ µ covariance est manifeste si nous examinons l'accroissement in¯nit¶simal d'un fonction scalaire des x¹ e pour un accroissement dx¹ : (2.77) df = @ ¹ f (xº )dx¹ : df ¶tant un scalaire et dx¹ un vecteur

positionnel de force est conservatif si la fonction vectorielle f= f(p) qui représente la force coïncide avec le vecteur gradient d'une fonction scalaire U, dite potentiel de la force, U : Ω → R: f = ∇U , où l'opérateur différentiel ∇, dit opérateur nabla, définit l’opération ∇U = ∂U ∂U ∂U ∂U ei = e1 + e2 + e . ∂x3 3 ∂x1 ∂x2 ∂xi A remarquer que U est défini à une constante additive près. La fonction V = −U est dite énergie potentielle ; cette définition n'est pas univoque, car certains auteurs

d’opérations différentielles groupés génériquement sous un seul terme. Ces opérateurs ont également des significations physiques. A.3.1 Opérateur gradient Le plus simple et le plus connu est l’opérateur gradient noté grad ou ∇ (appelé symbole nabla), qui à une fonction f lui associe le vecteur composé de toutes ses dérivées partielles. Par exemple si f (x, y, z), alors : ( gradf = ∇f = ∂f ∂f ∂f , , ∂x ∂y ∂z ) . ♣ Exemple. – Considérons f (x, y; t) = xt + x2 y/t. On trouve que

vectoriel • Cône de demi-angle au sommet α0 : dS = 2πr sin α r dα = 2πr 2 sin α dα α αo α0 dS = 2π sin α dα = 2 S r 0 = 2π(1 − cos α0 ) r 1.6. OPÉRATEURS VECTORIELS 1.6.1 Gradient −−→ L’opérateur grad (ou encore ∇, opérateur vectoriel polaire nabla) associe à ∂f ∂f ∂f , , . une fonction scalaire f (x, y, z) un vecteur de composantes ∂ x ∂ y ∂z df = Comme : ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z on en déduit −−→ d f = grad f −→ · dM (1.7) relation que l’on utilise pour définir le gradient dans un

vectoriel • Cône de demi-angle au sommet α0 : dS = 2πr sin α r dα = 2πr 2 sin α dα α αo α0 dS = 2π sin α dα = 2 S r 0 = 2π(1 − cos α0 ) r 1.6. OPÉRATEURS VECTORIELS 1.6.1 Gradient −−→ L’opérateur grad (ou encore ∇, opérateur vectoriel polaire nabla) associe à ∂f ∂f ∂f , , . une fonction scalaire f (x, y, z) un vecteur de composantes ∂ x ∂ y ∂z df = Comme : ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z on en déduit −−→ d f = grad f −→ · dM (1.7) relation que l’on utilise pour définir le gradient dans un

δh = β → − → − → − On a aussi δ f ∈ Rk , δg ∈ Rm , δh ∈ R p . avec i = {1, · · · , m} j = {1, · · · , k} l = {1, · · · , p} n = {1, · · · , k} On a utilisé les notations suivantes : β: − ∇→ x : fonction scalaire de préférence. → −A= opérateur nabla de la variable − x (∇→ x ∂A → ·− x i ). ∑i ∂x i → − δ : direction du pas de minimisation. wj : coefficient de pondération de la je fonction objectif. vi : coefficient de pondération de la ie contrainte d’inégalité. tl : coefficient de pondération