Nombre

Crible G´en´eralis´e sur le Corps de Nombres Khalid HAZAM hazam.khalid@gmail.com Projet de Cryptographie Ing´enierie Math´ematique Informatique Appliqu´ee a` l’Economie Facult´e des Sciences et Techniques Mohammedia Encadr´e par: Pr. O. Khadir 20 mai 2011 Avant de commencer, je tiens ` a remercier Pr. O. Khadir de m’avoir donn´e l’opportunit´e de travailler sur un sujet aussi riche, et en mˆeme temps d’avoir ´et´e extrˆemement patient avec moi, me permettant ainsi de mener ` a bien

les nombres entiers jusqu'au milliard. Comparer, encadrer, ranger ces nombres | Domaine : Nombres et calcul Compétence du socle commun : écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers Objectifs : Connaissances : connaître le principe de la numération décimale de position connaître la désignation orale et l'écriture en chiffres et en lettres des nombres jusqu'au milliard Capacités : comprendre et utiliser les écritures chiffrées des nombres comparer

Mettre sous forme trigonométrique les nombres : a) z = − 2 − i 2 b) z = 3 i c) z = −2 d) z = −2 + 2i 3 e) z = − 3 + 3 i 2 2 2. Construire à la règle et au compas les points A, B, C, D définis par : z A = 3 et arg z A = π ; z B = 2 et arg z B = π ; zC = 4 et arg zC = − π ; Re( z D ) = −4 et arg z D = 3π 4 3 6 4 II) Forme exponentielle 1. Mettre sous forme exponentielle : m = 3 +i 3 n = 6 −i 2 p=i 5 q=− 3 r = −7 i 2. a) Mettre les nombres z1 = 2 − 2i et z2 = 3 + i sous forme

#1 : Masse et volume permettant de vérifier la correspondance entre le nombre de moles de métal utilisé et le nombre de moles de gaz produit par l’oxydation en milieu acide Masse de métal (Mg) (g ± 0,001) 0,036 Volume du gaz (H2) (ml ± 0,05) 38,05 Température ambiante (°C ± 0,1) 21,7 Pression (mmHg ± 0,1) 751,3 Tableau des mesures #2 : Le voltage en fonction du temps écoulé afin de calculer expérimentalement le nombre d’avogadro Temps écoulé depuis le début de l’expérience (sec. ± x) Voltage

« Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs » Niveau : CM2 Introduction: Selon les instructions du Bulletin Officiel hors série n°3 du 19 juin 2008, les élèves en fin de cycle 3 doivent « écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusqu’au centième) et quelques fractions simples ». Cet exposé décrit la progression que nous avons élaborée pour la partie du programme

Les nombres complexes dossier ressources complexes 1 I. Introduction : Du réel à l'imaginaire Un peu d'histoire Au XVIe siècle, l'italien CARDAN lève une interdiction célèbre entre toutes : il imagine qu'un nombre négatif peut admettre une racine carrée. Ainsi était créé l'ensemble des nombres complexes. Deux siècles plus tard, le suisse EULER utilise la lettre "i" en lieu et place de la notation pour le moins ambiguë " -1 ". Le nombre i est un nombre imaginaire, dans le sens où il ne peut pas être

1° Calculer le module de chacun des nombres complexes : z1 = 3 + 4 i z2 = 1 – i z3 = 5 – z4 = 3 z5 = i – 4 z6 = i z7 = – 5 z8 = + i 2° Soit a un nombre réel. Calculer le module du nombre suivant : z = 3° Donner les formes trigonométriques de : z1 = 1 + i z2 = + i z3 = 1 – i z4 = i z5 = 3 + i On pose j = - + i . Calculer j2 , j3 et 1 + j + j2. Déterminer la forme trigonométrique des complexes j et j2 Représenter sur le cercle trigonométrique les complexes 1 , j et j2

direct du plan, déterminer l’ensemble des points M du plan tels que : a. |z – 2 + i| = |z + 3i| b. |z + 4 – i| = 2 Exercice 7 (2.5 pts) a. Démontrer qu’un nombre complexe z est imaginaire pur, si et seulement si : − = − z. z b. Démontrer que pour tout nombre complexe z et z’, on a l’égalité : z × z ' = z × z ' . Pré-requis : Forme algébrique d’un nombre complexe et de son conjugué. → → Corrigé du Test Exercice 1 (3.5 pts) Donner la forme algébrique des complexes suivants : z1 = (3 − 2i)(1 − i) =

– Ensembles de nombres Activités, exercices Activité 1 : Ensembles remarquables de réels 1. Ensemble de nombres Compléter les phrases suivantes :  N est l’ensemble des entiers naturels (ex : 0 ; 1 ; 2 ; …)  Z est l’ensemble des entiers relatifs (ex : –1 ; –3 ; 2 ; 0 …)  D est l’ensemble des nombres décimaux (ex : 2,3 ; 4,35 ; 3 ; –1 ; 0 ; 2 …) 2 1  Q est l’ensemble des nombres rationnels (ex : 2 ; –3 ; 4,5 ; –2,3 ; …) 3  R est l’ensemble des nombres réels (tous les nombres connus) 2. Appartenance

10 faits trouvés dans le film “Empire des nombres” 1.) Chaque société a des différentes façons de compter. Par exemple, la base pour les Sumériens était de 60 et la base des Mayens était de 20. Il fallait 4000 ans pour passer de compter avec les mains à compter avec les calculs. 2.) L’horloge est divisé en 60 parce que ce numéro est très divisible comparé aux autres comme 100 ou 50. 60 a 12 diviseurs : 60, 1, 30, 2, 20, 3, 15, 4, 12, 5, 10 et 6 comparé à 100, un numéro plus grand, mais qui