Pensée complexe

de connaissances 5 points Baccalauréat S 2. Démontrer qu’un nombre complexe z est réel si et seulement si z = z. 1. Démontrer qu’ un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si z = −z. 3. Démontrer que pour tout nombre complexe z, on a l’égalité : zz = |z|2 . → → − − Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal direct O, u , v . On se propose de démontrer, à l’aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B, C, deux à deux distincts, d’affixes respective

e 4.1 L’exponentielle d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Propri´t´s g´n´rales des isom´tries . . . . . . . . . . . . . e e e e e 4.3 Isom´tries de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.4 Liaison avec les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . 4.5 Isom´tries de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.6 Produit vectoriel et matrices antisym´triques ΛN . . . . e 4.7 Les orthogonales sont exponentielles d’antisym´triques e 5 Rappels et compl´ments

matrice SDP de dimension n. Il existe une et une seule matrice L triangulaire inférieure et D diagonale positive, telles que A=LDLt. Remarque : Crout a le même comportement numérique que Cholesky. Cependant, il est plus utilisé car généralisable au cas complexe. Soit A une matrice symétrique définie positive (quelconque ?). L est une matrice triangulaire inférieure de dimension n dont la diagonale se compose de 1. D est une matrice diagonale de dimension n. L est en fait la matrice B pour laquelle les termes

associé au point D par l'application f : 2z – i 2 – i 1 – i 2 – 2i – i – 1 1 – 3i zD’ = D = × = = izD + 1 1 + i 1 – i 2 2 3. a) Pour tout nombre complexe z différent de i : 2z – i 2z – i – 2z + 2i i  (z’ + 2i)(z – i) =  × (z – i) = × (z – i) iz + 1 + 2i (z – i) = iz + 1 iz + 1   i (z’ + 2i)(z – i) = × (z – i) = 1 i(z – i) Pour tout nombre complexe z différent de i, (z’ + 2i)(z – i) = 1. b) Pour tout point M d'affixe z (z ≠ i) : (z’ + 2i)(z – i) = 1. par passage aux modules : z’ + 2i z – i =

E 0 cos ωt et P = P0 cos(ωt − ϕ) avec P0 = ε 0 χ e E 0 1°) Montrer qu'en notation complexe E et D sont liées par D = ε 0 ε r E . On pose ε r = ε1 − jε 2 = ε r e − jδ Exprimer ε1 et ε 2 , puis tan gδ en fonction de χ e et ϕ . 2°) Un condensateur plan contenant la lame diélectrique précédente est alimenté par une différence de potentiel sinusoïdal V = V0 cos ωt . La capacité de ce condensateur est, en notation complexe C = ε r C 0 avec C0 réel a) Calculer la puissance moyenne dissipée Ƅm dans ce

organisée de connaissances 1. Soit z un nombre complexe tel que z = a + bi où a et b sont deux nombres réels. Soit z’ un nombre complexe tel que z’ = a’ + b’i où a’ et b’ sont deux nombres réels. z × z’ = (a + ib)(a’ + ib’) = aa’ + iab’ + iba’ – bb’ = aa’ – bb’ + i(ab’ + ba’) Donc z × z’ = aa’ – bb’ + i(ab’ + ba’) = aa’ – bb’ – i(ab’ + ba’) z × z’ = (a – ib)(a’ – ib’) = aa’ – iab’ – iba’ – bb’ = aa’ – bb’ – i(ab’ + ba’) Donc pour tous nombres complexes z et z’, z × z’ = z × z’ . 2. Démontrons par récurrence

somme des numéros est nulle» N°3 Devoir contrôle N°3 de mathématiques 1 Exercice N° 3: 6 points Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O, u ,v . On note ζ le cercle de centre O et de rayon 2. Soient A et B deux points d’affixes respectives ( ) z A = − 3 + i et z B = z A 1) a – Déterminer la forme trigonométrique des nombres complexes z A et z B . b – Vérifier que A et B appartiennent au cercle ζ . c – Montrer que OA,OB ≡ [2π ]. 3 d – En déduire que

Terminale S R´visions pour le Bac Blanc 2012 e Am´rique du Nord Juin 2011 e → → − − Le plan complexe est rapport´ ` un rep`re orthonormal direct O, u , v . ea e On consid`re les points A et B d’affixes respectives : a = i et b = 1 + i. e π On note : rA la rotation de centre A, d’angle , rB la rotation de centre B, 2 π π d’angle et rO la rotation de centre O, d’angle − . 2 2 Partie A On consid`re le point C d’affixe c = 3i. On appelle D l’image de C par rA , e G l’image de D par rB et H l’image

matrice B de u dans cette base. (c) Que peut-on alors dire des matrices A et B ? ` PROBL E ME Notations et rappels Dans tout le probl` me, C d´ signe le corps des nombres complexes et n un entier naturel e e ´ ` ` sup´ rieur ou egal a 2. On note Mn (C) l’alg` bre des matrices carr´ es d’ordre n a coefficients e e e complexes ; le groupe des matrices inversibles de Mn (C) est not´ GLn (C) et la matrice identit´ e e se notera In . Pour toute matrice A de Mn (C), tA d´ signe la matrice transpos´ e

D'autres équations que la loi d'Arrhénius ont été proposées pour la variation de  k en fonction de la température: (Sam Logan 1998 p19).  k = ATc exp (­B/T)               lnk = lnA + clnT ­B/T  k = A exp(­B/Tc)                   lnk = lnA ­ B/Tc énergie Complexe activé espèce intermédiaire Ea produits ∆rH0 produits Avancement de la réaction réactifs ∆rH0 Avancement de la réaction réactifs ∆rH0  ou ∆rU0   0       réaction endothermique Rem: d(lnK) /dT  = ∆rH0 /RT2       loi de van t' Hoff  (qui a étudié les travaux d'Arrhénius)