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Mathématiques appliquées ESAT TP2 : Interpolation polynomiale Objectif : Au cours de ce TP nous serons amenés à programmer les différentes méthodes d’évaluation d’un polynôme en un point. I. Interpolation de Lagrange et méthode des moindres carrés Exercice 1 : Les masses volumiques du matériau pour différentes températures sont données par le tableau ci-dessous : i 1 2 3 Température T (en °C) 94 205 371 Masse volumique R(T) : (en kg/m3) 929 902 860

=1 5 V ( x) = Propriété N Rx, y = ∑x y i =1 i i − nx y 2  2   ∑ xi2 − n x  ∑ yi2 − n y   i =1  i =1  N N = 310 − 5 × 3 × 19 = 0,988 (55 − 5 × 3² )(1869 − 5 ×19² ) 3. Méthode des moindres carrés On suppose l’existence d’une tendance linéaire entre deux variables et on souhaite ajuster le nuage statistique par une droite d’équation : y = a x + b yi M Y=ax+b xi Principe Chaque point M du nuage statistique de coordonnées (xi

+2% entre 2013 et 2012. Sur ces bases, pour les années suivantes, se pose la question de savoir s’il s’agit d’une stabilisation durable, ou du début d’un nouveau cycle de croissance sur un rythme de 2% l’an environ. 1.2 Par la méthode des moindres carrés: (m = moyenne de i=1 à i=4) => xm=2,5 et ym=443,75 xi: Année yi: C.A. M€ xi-xm yi-ym (xi-xm)(yi-ym) (xi-xm)² x1: 2010 y1: 450 -1,5 +6,25 -9,375 2,25 x2: 2011 y2: 432 -0,5 -11,75 5,875 0,25 x3: 2012 y3: 442 +0,5 -1,75 -0,875

groupe La prévision du CA 2008 sera de 8381 M€ Les méthodes d’ajustement linéaire L’ajustement par la méthode des Moindres Carrés ou droite de régression Années 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 CA en M€ 6200 6800 6510 7030 7980 7300 8090 L’évolution du CA de 2001 à 2007 est de: + 30,5% La droite recherchée est telle que la somme des carrés entre les points de la série et les valeurs obtenues avec la droite, soit la plus proche possible de zéro. Représentation

deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A) Notion d’ajustement d’une série statistique à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B) Ajustement par la méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C) Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Calcul du coefficient de corrélation affine . . . . . .

fournit un ajustement affine de (X, Y). 2. Comment obtenir un ajustement affine par la méthode des moindres carrés ? Si les ajustements affines que l'on obtient par les méthodes précédentes sont relativement rapides à calculer, ils ne sont pas les « meilleurs » ajustements que l'on puisse trouver. Pour déterminer le « meilleur » ajustement possible, on utilise la méthode des moindres carrés. Soit une série double (xi ; yi), avec 1   i   n, dont le nuage de points est à peu près aligné. On considère

(due à Gauss et Legendre) s’appelle la méthode des moindres carrés : elle consiste à déterminer les valeurs des paramètres a, b,… comme celles qui minimisent la somme des carrés des écarts n=1 ∑ ( yi – f ( xi ) ) 2 . Dans le cas particulier affine et dans une situation de type ∞ déterministe pertubé aléatoirement, on obtient ainsi la droite des moindres carrés. Dans une situation de type intrinsèquement aléatoire, la somme des carrés des écarts n’est pas exactement une variance, mais elle est

Prévoir les ventes : la méthode des moindres carrés Exemple : Soit les chiffre d’affaires réalisés par une entreprise (en centaine d’€) 2000 2001 2002 2003 Soit x : l’année et y : le CA réalisé Il s’agit de déterminer la droite passant le plus près possible de tous les points à ajuster. Cette droite correspond à une équation du type : y = ax + b Avec a = Σ(x-x)(y-y) Σ(x-x)2 On obtient : Années 2000 2001 2002 2003 x 1 2 3 4 x = 2,5 y 180 182 1328 1369 y = 184,25 (x- x) - 1,5 - 0,5 0,5 1,5 (y-y)

la méthode des moindres carrés donne : y = 44,4 x + 64 2) A la rentrée 2010, pour x = 10 : y = 44,4 × 10 + 64 = 508 . On peut donc estimer qu’il y aura, avec ce modèle, 508 ordinateurs à la rentrée 2010. 3) xi zi = ln yi 1 4,942 2 5,075 3 5,193 4 5,394 5 5,561 6 5,768 7 5,940 8 6,109 4) On a : R = 0,997746 . R est très proche de 1, donc ce qui valide l’ajustement linéaire de z en x . 5) A l’aide de la calculatrice, la méthode des moindres carrés donne : z = 0,171 x + 4

type de modèle est celui pour lequel la variable dépendante est continue (consommation, salaires, patrimoine,....). On utilise alors l ’estimateur des moindres carrés ordinaires. e problème se complique lorsque la variable dépendante n'est connue que sous forme discrète. Il n’est alors plus question d’utiliser l’estimateur des moindres carrés ordinaires, sous peine d’introduire des biais dans les estimations. La solution consiste à postuler l'existence d'une variable latente continue, dont une discrétisation