Interpolation lagrangienne

Notes de cours de l'ISIMA, première année http://www.isima.fr/∼leborgne Interpolation polynomiale, intégration numérique, résolution numérique d'équations diérentielles Gilles Leborgne 5 juin 2012 Table des matières 1 Interpolation polynomiale 3 1.1 Introduction à l'interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Rappels généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Pour les racines d'un polynôme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4.2 La d´composition de Cholesky A = CC ⊤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5 C’est fini ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Interpolation polynomiale 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Base canonique - Syst`me de Van-der-Monde e 3.3 Polynˆme de Lagrange . . . . . . . . . . . . . o 3.4 Base de Newton - Diff´rences divis´es . . . . e e 1 . . . . . . .

ANALYSE NUMERIQUE 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Définitions Des exemples Calcul des racines d’une fonction Interpolation numérique Intégration numérique Résolution numérique d'équations différentielles Calcul matriciel ANALYSE NUMERIQUE 1. Définitions • Définition générale L’analyse numérique est une discipline du domaine des mathématiques qui consiste dans l’étude et l’implémentation d’algorithmes pour résoudre des problèmes d’analyse au moyen de calculs arithmétiques. • Définition

TP Mathématiques appliquées ESAT TP2 : Interpolation polynomiale Objectif : Au cours de ce TP nous serons amenés à programmer les différentes méthodes d’évaluation d’un polynôme en un point. I. Interpolation de Lagrange et méthode des moindres carrés Exercice 1 : Les masses volumiques du matériau pour différentes températures sont données par le tableau ci-dessous : i 1 2 3 Température T (en °C) 94 205 371 Masse volumique R(T) : (en kg/m3) 929

mouvement nous intéresse : l’aspect dynamique fera l’objet du chapitre 5. Il existe en mécanique des fluides deux modes principaux de description : les descriptions lagrangienne et eulérienne. Nous les étudierons successivement, en déterminant également les formules qui existent pour passer de l’une à l’autre. I I.1 Description lagrangienne Définition Dans cette description, l’observateur suit chaque particule fluide à partir de l’instant initial. Autrement dit, chaque particule ne sera repérée −−

contient 6,02.1023 molécules d’eau Combien y a t-il de molécules d’eau dans une goutte de 1mm? 1µm? D=1mm D=1µm 3 1,75.1019 molécules d’eau 1,75.1010 molécules d’eau Mécanique des Fluides 1. Trajectoire d’une particule fluide : description lagrangienne Chapitre III trajectoire On s’intéresse au mouvement d’une particule fluide identifiée, P z P(t4) P(t2) P(t3) P(t ) 1 Trajectoire de la particule P(t0) y x Trajectoire = ensemble des positions occupées successivement par la particule

coefficients de variation : . Cependant, les intervalles bilatéraux nous renseignent sur une plus grande concentration des données dans le cas des hommes, autour de la moyenne arithmétique. DETERMINATION DE LA PROPORTION P PAR INTERPOLATION LINEAIRE Par interpolation linéaire, Effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés croissants D’où 29 29 0 20 23 25 Limites des classes d’âge La valeur pour ans est connue car lue dans le tableau. Elle correspond à 235 individus

2 1.1 Définition – Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Un cas particulier important : fonctions valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Interpolation linéaire 6 Table des figures 1 Un exemple de fonction affine par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Fonction valeur absolue de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

chaque classe avec : qi = ni X i ∑ niX i • Calcul des valeurs globales relatives cumulées (Qi) avec : Qi = ∑ ∑in iX nX i i • Identification de la classe dans laquelle se situe Qi = 50% ou Qi = 0,50 • Calcul de la médiale par interpolation linéaire. Ex : salaires bruts semstriels des jeunes diplômés de l’Université de Nulpar après cinq années d’expérience en K€ : Salaires semstriels en K€ [5 ; 10[ [10 ; 12[ [12 ; 14[ [14 ; 16[ [16 ; 18[ [18 ; 20[ [20 ; 25[ [25 ; 30[ TOTAUX Effectifs

Méthode des Trapèzes La méthode d'approximation d'une intégrale ainsi dénommée repose sur le calcul de l'aire d'un trapèze, vue comme l'intégrale d'une fonction affine f sur IR, donc du type :" f(x) = Ax + B" , pour tout couple (a;b) de réels, on a, comme le montre un calcul sans difficulté particulière : f(x)dx = [A + Bx = (b - a)x , car  b 2 − a 2  =  b − a   b  a  Cette formule d'intégration est à rapprocher de celle qui donne l'aire d'un trapèze, si on interpréte, dans