Probabilités

Analyse combinatoire et probabilités - Exercices et corrigés Michel Semon Cours d’appui - www.phymaths.ch 1 TABLE DES MATIÈRES Table des matières 1 Introduction 5 2 Notations 2.1 Formules d’analyse combinatoire . . . . . 2.1.1 Permutations et arrangements . . 2.1.2 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . 2.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Probabilités conditionnelles et tota 2.2.2 Inclusion-exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 Savoir Probabilité sur un ensemble fini ● Probabilité d’un événement On considère une expérience aléatoire ayant un nombre n d’éventualités (ce sont les résultats possibles). Un événement A est un ensemble constitué avec une ou plusieurs éventualités. La probabilité qu’une éventualité soit réalisée est un nombre compris entre 0 et 1. Ce nombre correspond à la fréquence théorique de cette éventualité si on répétait l’expérience un très grand nombre de fois. La probabilité de l’événement A

EXERCICES DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES (version 2.1 Révision 3 du 31.10.2010) Sciences.ch Probabilités et Statistiques EXERCICE 1. Niveau : Université Auteur : Dhyne Miguël (01.09.04, miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : concept de probabilité Enoncé : On tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Avec quelle probabilité cette carte estelle soit une dame soit un cœur ? Solution : Un jeu de 52 cartes présente : - 13 cartes de pique - 13 cartes de carreau - 13 cartes de trèfle -

EXERCICES DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES (version 2.1 Révision 3 du 31.10.2010) Sciences.ch Probabilités et Statistiques EXERCICE 1. Niveau : Université Auteur : Dhyne Miguël (01.09.04, miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : concept de probabilité Enoncé : On tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Avec quelle probabilité cette carte estelle soit une dame soit un cœur ? Solution : Un jeu de 52 cartes présente : - 13 cartes de pique - 13 cartes de carreau - 13 cartes de trèfle -

. . . . . . . Probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evaluation et couverture d’un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . 3 Modèle binomial à n périodes 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 "Rappels" de probabilité : Processus discret et Martingale . . . . . . . . Modélisation du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stratégie de portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbitrage et Probabilité risque neutre .

déroulement du projet. Elle intervient dès la phase Etude et se termine à la clôture du projet. 2. L’évaluation du niveau d’exposition (l’incidence du risque) du projet par rapport au 6 grandes catégories de risques retenues (qui combine la probabilité de réalisation des facteurs de risques et leur criticité en cas de réalisation). Le but est de savoir si le risque est tolérable ou non et ce qu’il entraîne pour le projet. 3. La maîtrise du risque : Il s’agit ici de définir, au moins pour

Combien de tirages doit-on effectuer pour que la probabilité de tirer au moins une fois la boule rouge soit supérieure à 0,95 ? Exercice 6 : Soient deux événements A et B tels que P (A) = 0, 5 et P (A ∪ B) = 0, 7. a) Que vaut P (B) si A et B sont indépendants ? b) Que vaut P (B) si A et B sont incompatibles ? c) Que vaut P (B) si P (A | B) = 0, 5 ? Exercice 7 : Un distributeur de café marche très mal, et on a pu estmier que : – La probabilité de l’événement « on n’obtient pas de café et la pièce

Terminale S Probabilités Exercices corrigés 1. 1. Combinatoire avec démonstration 1. 2. Rangements 1. 3. Calcul d’événements 1 1. 4. Calcul d’événements 2 1. 5. Calcul d’événements 3 1. 6. Dés pipés 1. 7. Pièces d’or 1. 8. Agriculteur pas écolo 1. 9. Boules 1. 10. Jeux 1. 11. Conformité 1 1. 12. Fumeurs 1. 13. Conformité 2 1. 14. Chiens chats 1. 15. Maladie 1. 16. QCM, Am. du Nord 2006 1. 17. Fesic 2001 : Exercice 17 1. 18. Fesic 2001 : Exercice 18 1. 19. Fesic 2002 : Exercice

= i n−1 , . . . , X 1 = i 1 , X 0 = i 0 ) = P(X n+1 = j | X n = i ) pour tout n ∈ N, pour tout état j et pour toute suite d’états i 0 , i 1 , . . . i n−1 , i , pour lesquels la probabilité conditionnelle a un sens, c.-à-d. tels que P(X n = i , X n−1 = i n−1 , . . . , X 1 = i 1 , X 0 = i 0 ) > 0. ) Si en plus la probabilité P(X n+1 = j | X n = i ) ne dépend pas de n, c.-à-d. si ∀n ∈ N, P(X n+1 = j | X n = i ) = P(X 1 = j | X 0 = i ) on dit que la chaîne de Markov est homogène. La propriété de Markov

Défaillance Probabilité 1 Probabilité très faible : Défaillance inexistante sur équipement analogue Capabilité CP > 1,67 1  P 1 20000 10000 2 Probabilité faible : Très peu de défaillances sur équipement analogue ou sous contrôle statistique - Capabilité 1,33 < CP < 1,67 Probabilité modérée : Défaillances apparues occasionnellement sur équipement analogue - Capabilité 1 < CP < 1,33 Probabilité élevée : Défaillances fréquentes sur équipement analogue Capabilité 0,83 < CP < 1 Probabilité très élevée