Produit de Cauchy

particulier de suites récurrentes ? Ces objets mathématiques sont en fait strictement identiques, mais sont utilisés dans des contextes très différents : on parle de suites pour des raisons théoriques (e.g., construction du corps des réels par les suites de Cauchy), alors qu’on utilise la terminologie des équations récurrentes (on dit encore équations aux différences ou encore modèles discrets) en modélisation. L’intérêt pratique des équations récurrentes ne fait pas de doute :  Dans la relation calcul formel

congruence des triangles). CQFD. Th´ eor` eme 10 Une isom´etrie conserve les aires. Nous n’allons pas d´emontrer ce th´eor`eme compl`etement. Notons d´ej` a qu’il est vrai pour des triangles. En effet, l’aire d’un triangle est la moiti´e du produit de la base par la hauteur correspondante. Or une isom´etrie conservant les angles droits et les longueurs, le triangle image aura une base et une hauteur correspondante de mˆeme longueur que le triangle de d´epart, donc 5 la mˆeme aire. Du coup

Corrig´. Le (a) est un r´sultat classique dont nous donnons tout de mˆme la preuve e e e compl`te. Soit (fn ) une suite de Cauchy dans (E, ∞ ). Comme pour tout x ∈ [0, 1], la e suite r´elle fn (x) n∈N est de Cauchy, elle est convergente. Posons f (x) = limn fn (x). On e a |f (x) − fm (x)| = lim |fn (x) − fm (x)| ≤ sup fn − fm ∞ = (m). n→∞ n≥m 1 Comme la suite fn est de Cauchy, limm (m) = 0 et f est limite uniforme des fn . De plus, pour x, x0 ∈ [0, 1], n ∈ N, on a |f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fn

l’indice de réfraction de celui-ci est constant dans un milieu donné. Or, nous avons aussi vu que la lumière est en réalité la somme d’une infinité de rayons lumineux de différentes couleurs, chacun ayant une longueur d’onde unique. Augustin Louis Cauchy, mathématicien français du 19e siècle, mis en évidence la relation empirique suivante [9] : Avec : nλ indice de réfraction d’un milieu donné A et B constantes positives définissant le milieu λ longueur d’onde du rayon lumineux considéré Cette équation

du livre XII des Éléments d’Euclide (l’aire d’un cercle est proportionnelle au carré de son diamètre) a été considérée comme très proche de la découverte du Calcul Infinitésimal. Si Newton et Euler ne pèchent pas par excès de rigueur, en revanche, Cauchy et Dedekind, qui fondent rigoureusement les nombres réels, reviennent à une conception que n’aurait pas reniée Euclide. Mais notre infini reste toujours inachevé. 3 L’infini « ordonné » La découverte des ordinaux est due à Georg Cantor, en

. TABLE DES MATIÈRES 5 4.6.4 Variables aléatoires normales (ou variables gaussiennes) Des inégalités fameuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Inégalité de Bienaymé-Chebyshev . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l’hémisphère Sud. Au voisinage de la surface terrestre, les vents sont quelque peu divergents, à partir du centre anticyclonique, mais en altitude ils tentent à s’écouler parallèlement aux isobares. Un anticyclone est une zone de hautes pressions, produit par une grande masse d'air descendante. C’est un affaissement qui a lieu dans toute une épaisseur de l'atmosphère. Dans une haute pression, l'air est très stable et circule dans le sens horaire tout en convergeant vers le sol. La convergence

Chapitre 8 Géométrie élémentaire de l’espace Objectifs • Rappeler les différents modes de repérage dans l’espace • Rappeler les notions de produit vectoriel, de produit scalaire et de produit mixte ainsi que leurs applications. • Étudier les droites, les plans et les sphères de l’espace. Sommaire I) Les modes de repérage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Repère orthonormal

Roches siliceuses Grès, poudingue, brèches R4 Roches salines Sel gemme, gypse R5 Roches magmatiques et métamorphiques Granite, basalte, andésites, gneiss, schistes métamorphiques et ardoisiers R6 Matériaux particuliers Sols organiques et sous-produits industriels F [Chaque classe est ensuite subdivisée en fonction de paramètres supplémentaires spécifiques gouvernant son comportement mécanique] 2. HYDRAULIQUE DES SOLS 1 - Définitions et loi de Darcy  Nappes : • nappe à surface libre

limite à une approche naïve. Aucun développement n’est fait sur la théorie des ensembles. Appartenance, inclusion. Sous-ensemble (ou partie) de E . Ensemble vide. Opérations sur les parties d’un ensemble : réunion, intersection, complémentaire. Produit cartésien de deux ensembles, d’un nombre fini d’ensembles. Ensemble des parties d’un ensemble. Démontrer une égalité, une inclusion de deux ensembles. Maîtriser le lien entre connecteurs logiques et opérations ensemblistes. Notations E A, A, E \