triangles

4369 mots 18 pages
Chapitre 7 : Triangles et transformations.
1

Triangles congruents ou isom´ etriques D´ efinition 1 On dit que le triangle ABC et le triangle A B C sont congruents, et on note
ABC ≡ A B C ssi AB = A B , AC = A C , BC = B C , A = A , B = B , et C = C .
La d´efinition pr´ec´edente nous impose de v´erifier trois ´egalit´es de longueurs et trois ´egalit´es d’angles, soit six ´egalit´es en tout. Nous allons voir qu’on peut faire beaucoup mieux en r´eduisant ce nombre `a trois. Ce sera tr`es utile en pratique puisqu’`a partir de trois ´egalit´es, on pourra en d´eduire trois autres.
Th´
eor` eme 1 (cas de congruence de triangles) Soient ABC et A B C deux triangles. Lorsque l’une des trois conditions suivantes est r´ealis´ee, on a ABC ≡ A B C :
1. AB = A B , AC = A C , BC = B C (trois cˆ ot´es). 2. AB = A B , AC = A C , A = A (deux cˆ ot´es et l’angle entre ces cˆ ot´es). 3. AB = A B , A = A , B = B (deux angles, et le cˆ ot´e entre ces deux angles).

C1

C1

A

B

B

A

C
2

les trois côtés

C1

C
2

deux côtés et l'angle qu'ils forment B

A

C2

un côté et deux angles D´ emonstration :
Rappelons que l’on a d´ej`a d´emontr´e le deuxi`eme cas dans l’annexe C du chapitre 0. Nous allons maintenant utiliser le deuxi`eme cas pour prouver les deux autres, cependant nous aurons besoin de deux lemmes :
Lemme 1 Une translation conserve les angles et les longueurs.

emonstration :
Ceci est imm´ediat d’apr`es l’axiome des angles correspondants d’une part, et les propri´et´es des parall´elogrammes d’autre part (voir figure).
CQFD.
1

Lemme 2 Soient A, B, C, C quatre points distincts tel que C est l’image de C par la sym´etrie d’axe (AB). Alors les triangles ABC et A B C sont congruents.

emonstration :
On va utiliser les propri´et´es des triangles isoc`eles d´emontr´ees au chapitre 0 annexe C.
Par d´efinition d’une sym´etrie axiale, (AH) est `a la fois la m´ediane et la hauteur issue de A.
Il en

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