Rotationnel

et incompressible On suppose Ω ⊂ Rd occupé par un fluide irrotationnel, incompressible à l’équilibre (i.e. qui ne varie pas en fonction du temps). Alors, la vitesse locale u : Ω → Rd du fluide vérifie rot(u) = 0 et div(u) = 0, où rot(u) est le rotationnel de u défini comme étant la matrice carrée d’ordre d de coefficients ∂uj ∂ui − , ∀ i, j = 1, . . . , d. rot(u)ij := ∂xj ∂xi On suppose de plus l’ouvert Ω simplement connexe. Alors, rot(u) = 0 entraîne qu’il existe une fonction ϕ : Ω → R appelée fonction

· + · = · cos θ − · sin θ. (5.30) ∂x ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x ∂x ∂y Notation A ou Ai A · B ou 3 i=1 D´finition e Vecteur Produit scalaire Produit vectoriel Op´rateur e diff´rentiel e vectoriel Gradient Divergence Laplacien scalaire Laplacien vectoriel Rotationnel Transformation Comme x, y, z Invariant Comme x, y, z Comme x, y, z Comme x, y, z Invariant Invariant Comme x, y, z Comme x, y, z Ai Bi A×B ou ∂i φ ou ∂i φ · A ou · · 3 i=1 ∂i Ai 2 φ= A= φ A 2 × A(x, y, z) Tab. 5.1 –

Dans le cas du mélange PMMA/THF et de l’eau le rapport de viscosité est proche de l’unité. 1, 2.10−3 R= = 1, 2 1.10−3 (5.14) Ainsi, le taux de déformation est pratiquement égal au nombre Capillaire. Dans un écoulement cisaillant simple (et donc rotationnel), le nombre de Capillaire critique (Peters, 1992) au-delà duquel il y a rupture de la goutte est de l’ordre de 0,5. D12 = Ca = µc γd ˙ = 0, 5 2σ (5.15) Soit, γd ˙ = 10m.s−1 (5.16) Ainsi, pour une goutte de diamètre 500 µm, nous avons γ˙ = 20000s−1

∂y ∂z → Dérivée particulaire de V : → Divergence de V : ∂u ∂u ∂u   ∂u +u +v +w   ∂x ∂y ∂z   ∂t DV  ∂v ∂v ∂v ∂v  = +u +v +w Dt  ∂t ∂x ∂y ∂z   ∂w + u ∂w + v ∂w + w ∂w   ∂t ∂x ∂y ∂z   → div V = ∇. V = ∂u ∂v ∂w + + ∂x ∂y ∂z Rotationnel de V :  ∂w ∂v  −    ∂y ∂z  →  ∂u ∂w  rot V = ∇ ^ V =  − ∂z ∂x   ∂v ∂u    −  ∂x ∂y  Gradient de P: grad (P ) = ∇ P = → → 132 ∂P → ∂P → ∂P → i+ j+ k ∂x ∂y ∂z Cours Transferts thermiques 2ème année Ecole des Mines Nancy Annexes

Définitions ,15-1 Gradient et dérivée directionnelle ,15-1 Un programme permettant de calculer le gradient ,15-2 Utilisation de la fonction HESS pour obtenir le gradient ,15-3 Potentiel d’un gradient ,15-3 Divergence ,15-4 Laplacien ,15-5 Rotationnel ,15-5 Champ non rotationnel et fonction potentielle ,15-6 Vecteur potentiel ,15-7 Page TOC-14 Chapitre 16 - Equations différentielles ,16-1 Opérations de base avec des équations différentielles ,16-1 Saisie d’équations différentielles ,16-1 Vérifier des

∂y ∂z → Dérivée particulaire de V : → Divergence de V : ∂u ∂u ∂u   ∂u +u +v +w   ∂x ∂y ∂z   ∂t DV  ∂v ∂v ∂v ∂v  = +u +v +w Dt  ∂t ∂x ∂y ∂z   ∂w + u ∂w + v ∂w + w ∂w   ∂t ∂x ∂y ∂z   → div V = ∇. V = ∂u ∂v ∂w + + ∂x ∂y ∂z Rotationnel de V :  ∂w ∂v  −    ∂y ∂z  →  ∂u ∂w  rot V = ∇ ^ V =  − ∂z ∂x   ∂v ∂u    −  ∂x ∂y  Gradient de P: grad (P ) = ∇ P = → → 132 ∂P → ∂P → ∂P → i+ j+ k ∂x ∂y ∂z Cours Transferts thermiques 2ème année Ecole des Mines Nancy Annexes

respirons les molécules peuvent posséder trois types d'énergies. Il y a d'abord leur énergie translationnelle, cinétique, liée à leur vitesse d'agitation thermique ( 400 mètres par seconde ). C'est leur : 1 m V2 2 Puis il y a leur énergie rotationnelle. Les molécules d'oxygène, d'azote, de gaz carbonique, tournent sur elles-mêmes comme des toupies, et ceci représente de l'énergie. Il y a enfin un troisième mode, vibratoire. Les liaisons entre atomes sont élastiques. Certaines molécules possède

d’amortissement peut ˆtre calcul´ ` partir de l’´quation 1.2, non pas en e e a e consid´rant un ´coulement totalement potentiel (ce qui signifierait n´gliger tout amortissement), e e e mais en consid´rant m e k. Ceci implique que l’´coulement n’est rotationnel que sur une faible e profondeur. Cette condition est ´quivalente ` la relation 1.3. On obtient : e a β= 4k 3 ν 3ρω (1.31) o` k est le nombre d’onde, ν est la viscosit´ dynamique, ρ la masse volumique du liquide u e et ω la pulsation

spectre a ´t´ obtenu en mesurant le nombre d’ions produits par un faisceau laser ´clairant l’assembl´e mol´culaire, en fonction de la fr´quence ν de la lumi`re. e e e e e La hauteur de chaque pic est proportionnelle ` la population du niveau rotationnel a correspondant . obtenu1 en mesurant la fr´quence des photons n´cessaire pour ioniser les e e e e mol´cules Cs2 , qui sont form´es dans une vapeur d’atomes de c´sium ultrae froids (temp´rature ∼ 100 µK). Les donn´es de la figure 10.4

vecteur (cela donne une matrice) grad (f u) = u grad f + f grad u. – gradient d’un produit scalaire (cela donne un vecteur) grad (u · v) = u grad v + v grad u + u × (rot v) + v × (rot u), où × représente le produit vectoriel et rot l’opérateur rotationnel. ` Exercice A.8 On définit l’opérateur suivant (en dimension 2) agissant sur des fonctions f (x, y) u∇ : f → (u∇)f = u ∂f ∂f +v , ∂x ∂y où u = (u, v) est un vecteur. Montrer que l’on a (u∇)f = u · ∇f . Que se passe-t-il si on applique