Sous-espace stable

P. 2. Déterminer les sous-espaces vectoriels de R3 , ker P et Im P. 3. Soit Q = I − P, calculer P2 , PQ, QP et Q2 . 4. Caractériser géométriquement P et Q. Correction [002578] Exercice 2 Soit E un espace vectoriel sur un corps K (K = R ou C), et u un endomorphisme de E. On suppose u nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe un entier strictement positif n tel que un = 0. 1. Montrer que u n’est pas inversible. 2. Déterminer les valeurs propres de u et les sous-espaces propres associés. Correction

0 , x2 ) ; x2∈ℝ } . Montrer qu’ils constituent des espaces vectoriels. Solution 1 : Rappelons d'abord que E1 et E 2 sont des sous-ensembles de ℝ et que les lois de composition interne et externe ne sont que les lois habituelles + et × . Nous savons déjà que ( ℝ2 ,+, × ) est un espace vectoriel. Nous n'avons donc pas besoin de vérifier toutes les propriétés (8 propriétés) d'un E.V., mais seulement la stabilité des 2 sous-ensembles pour les deux lois. 1. On vérifie premièrement

puis en repassant dans l’union au complémentaire) (iii) ⇒ (i) évident, ce n’est pas la définition ou presque ? On passe le vide au complémentaire pour montrer que Ω ∈ ℑ, puis on montre que ℑ est stable par intersection finie comme en 1.2.5 (iv) et enfin pour A, B donnés dans ℑ on a que A\B=∈ ℑ puisque ℑ stable par complémentaire et par intersection finie… ∎ 1.2.7 Théorème : Soit (ℑi)i∈I une famille de tribus de Ω, on a que est une tribu de Ω. Démonstration : Posons ℑ= Soit (Ak)k∈ℕ ∈ ℑℕ, on a que :

Problèmes de nutrition : Déséquilibre production/ Consommation - Impacts négatifs : Environnementaux et sanitaires Etude de cas : Le Brésil Le brésil : Géant de l’agriculture au XXIème siècle ; mais plus de 25 millions de brésiliens souffrent de sous nutrition. I) Définitions - Latifundia : Grande propriété de plusieurs centaines d’hectares. Agriculture commerciale. - Minifundia : Petites exploitations vivrières de quelques hectares seulement. - Front pionnier : Mise en valeur de terres vierges

affine 1.1 Espaces affines 1.2 Sous-espaces affines 1.3 Repères 1.4 Applications affines 1.5 Le groupe affine 1.6 Convexité 2. Dualité et algèbre bilinéaire 2.1 Dualité 2.2 Formes quadratiques 2.3 Espaces vectoriels euclidiens 2.3.1 Sous-espaces, symétries, projections 2.3.2 Le groupe orthogonal 2.3.3 Orientations 2.3.4 Le groupe orthogonal d'un plan vectoriel euclidien 2.3.5 Angles de vecteurs 2.3.6 Angles de droites 2.3.7 Le groupe des isométries vectorielles de l'espace 2.4 Espaces affines euclidiens

cela a été possible grâce à de nouveaux moyens d’explorations (bateaux plus stables). Puis au milieu du 20ème siècle, la mondialisation a accru l’importance stratégique des mers et des océans qui sont devenu de plus en plus traversées, exploités et convoités du fait du rôle essentiel qu’ils sont pour l’économie mondiale. Grâce à ce phénomène de mondialisation, on a pu observer une territorialisation de ces espaces du fait de la maritimisation qui est un processus d’accroissement des échanges

La concurrence des instituts de beauté Si la montée en puissance des enseignes franchisées reste de mise ces prochaines années, l’intensité concurrentielle continuera d’augmenter sous l’effet des politiques des «rivaux» des instituts de beauté : les parfumeries. Ces dernières ne cessent en effet de marcher sur les plates-bandes des instituts en équipant leurs points de vente de cabines et de stands de maquillage. Les enseignes de parfumerie développent de nouveaux concepts : modernisation des logos

semestre ou à la fin du semestre 2 Histoire de la population mondiale et la transition démographique par A.Avdeev (IDUP) Page 1 Mise à jours 09/10/2010 Année 2010-2011 Bibliographie : lecture obligatoire G.Caselli, J.Vallin et G.Wunsch (sous la direction de) - Démographie: analyse et synthèse, Vol. V synthè se Histoire du peuplement et prévisions pré Notamment les chapitres 66-99 (1e partie), p.9-117 J.-N.Biranen « Histoire du peuplement des origines à nos jours » D.A.Coleman « Le

RESEAU URBAIN. Méthodes d’analyse. 1. INTRODUCTION Dans un territoire, les noyaux de peuplement ne sont pas distribués de façon quelconque. L’organisation des villes en un réseau de centres hiérarchisés par la taille et régulièrement espacés d’après la logique territoriale de l’offre et de la demande fut formalisée par Christaller. Mais la théorie des lieux centraux ne donne qu’une explication statique de l’organisation du peuplement, conçue comme un équilibre territorial. Des schémas

¸i¡1x1 (¡a0 ¡ a1¸ ¡ : : : ¡ an¡1¸n¡1)x1 = ¸nx1 Donc x1 ne peut être nul (un vecteur propre n’est pas nul), ¸ est racine de P et tout vecteur propre est multiple de X¸ = 0 BBB@ 1 ¸ . . . ¸n¡1 1 CCCA 1 c) On vient de constater que les espaces propres sont tous limités à des droites; la matrice tCP est donc diagonalisable si et seulement si il y a assez de telles droites pour engendrer l’espace entier, c’est à dire si P a n racines distinctes (et donc simples). La réciproque est du cours