Chapitre 1 : Tribus.

1.1 Ensembles dénombrables.
1.1.1 Définition :
Un ensemble X non vide est dit fini lorsque ∃ n ∈ ℕ* t.q ∃ φ : {1,…,n} → X bijective.
Dans ce cas, n est dit le cardinal de X.
1.1.2 Définition :
Un ensemble X non vide est dit infini lorsqu’il n’est pas fini.
1.1.3 Théorème :
Soit X un ensemble non vide, les deux assertions suivantes sont équivalentes :
(i) X est infini.
(ii) ∃ X0 ⊊ X, ∃ ψ : X0 → X bijective.
1.1.4 Définition :
Un ensemble X non vide est dit dénombrable lorsque ∃ φ : ℕ → X bijective.
X = φ(ℕ) = {φ(i), i ∈ ℕ}.
Si X est dénombrable, alors X est infini (car ℕ est infini).
ℕ est dénombrable.
1.1.5 Définition :
Un ensemble non vide est dit au plus dénombrable lorsqu’il est fini ou dénombrable.
1.1.6 Théorème :
Soit X un ensemble au plus dénombrable : si ∅ ⊊ X0 ⊆ X, alors X0 est au plus dénombrable.
1.1.7 Théorème :
Soit n ∈ ℕ* et X1, … , Xn des ensembles dénombrables.
On a que est dénombrable.
En particulier, ℕ²= ℕ ⨉ ℕ est dénombrable, et ∀ k ∈ ℕ, ℕk est dénombrable.
1.1.8 Théorème : Soit (Ai)i ∈ I une famille de parties de X,
(i) Si I est fini et si ∀ i ∈ I, Ai est fini, alors est fini.
(ii) Si I est fini et si ∀ i ∈ I, Ai est dénombrable, alors est dénombrable.
Corollaires :
ℤ = ℕ ∪ (-ℕ) est dénombrable.
ℚ qui est assimilable à une partie de ℤ ⨉ ℤ* est dénombrable.
1.1.9 Théorème :
Soit (Ai)i ∈ I une famille de parties de X,
(i) Si I est dénombrable, et si ∀ i ∈ I, Ai est dénombrable, alors est dénombrable.
(ii) Si I est dénombrable, et si ∀ i ∈ I, Ai est fini, alors est au plus dénombrable.
1.1.10 Théorème :
Soit X,Y deux ensembles non vides et une fonction f : X → Y,
Si X est dénombrable et f une surjection alors Y est au plus dénombrable.
1.1.11 Théorème :
Soit X un ensemble, il n’existe pas de surjection de X vers ℘(X) (ensemble des parties de X, noté aussi 2X). Si Card(X) = k ∈ ℕ*, alors Card(℘(X)) = 2k. On déduit de ce théorème que ℘(ℕ) est infini non dénombrable.
1.1.12 Théorème :
ℝ est infini non