Symbole de Kronecker

u ∈ L(E). Soit e = (e1 , e2 , ..., en ) une base orthonormée de E. Supposons que u ∈ O(E). 2 Soit (i, j) ∈ ( 1, n ) . u ∈ O(E) donc (u(ei )|u(ej )) = (ei |ej ). Or e est une base orthonormée de E donc (u(ei )|u(ej )) = δij où δij désigne le symbole de Kronecker. 2 On en déduit que ∀(i, j) ∈ ( 1, n ) ,(u(ei )|u(ej )) = δij . C’est à dire (u(e1 ), u(e2 ), ..., u(en )) est une famille orthonormée de E. Donc, c’est une famille libre à n éléments de E avec dim E = n. Donc (u(e1 ), u(e2 ), ..., u(en ))

reportant cette expression dans (4.18), nous obtenons : J i = ε i σ Ti 4 + (1 − ε i ) n ∑J k f ik k =1 Soit encore : σ Ti 4 = Ji εi − 1 εi n ∑ (1 − ε i ) J k f ik k =1 Yves Jannot 71 Transferts thermiques n En utilisant le symbole de Kronecker, nous pouvons écrire : J i = ∑δ ik Jk k =1 n 4 ∑ [δ ik − (1 − ε i ) f ik ] J k = ε i σ Ti D’où : (4.23) k =1 On écrit cette relation pour toutes les surfaces Si dont on connaît les températures. Pour celles dont on connaît plutôt

dans un premier temps : (H) (H1 ) : [εi ] = 0 pour tout indice i (H2 ) : Cov(εi , εj ) = δij σ 2 pour tout couple (i, j) Les erreurs sont donc supposées centrées, de même variance (homoscédasticité) et non corrélées entre elles (δij est le symbole de Kronecker, i.e. δij = 1 si i = j, δij = 0 si i = j). Notons que le modèle de régression linéaire simple de la définition 1.1 peut encore s’écrire de façon vectorielle : Y = β1 ½ + β2 X + ε, où : – le vecteur Y = [y1 , . . . , yn ]′ est aléatoire de dimension

reportant cette expression dans (4.18), nous obtenons : J i = ε i σ Ti 4 + (1 − ε i ) n ∑J k f ik k =1 Soit encore : σ Ti 4 = Ji εi − 1 εi n ∑ (1 − ε i ) J k f ik k =1 Yves Jannot 71 Transferts thermiques n En utilisant le symbole de Kronecker, nous pouvons écrire : J i = ∑δ ik Jk k =1 n 4 ∑ [δ ik − (1 − ε i ) f ik ] J k = ε i σ Ti D’où : (4.23) k =1 On écrit cette relation pour toutes les surfaces Si dont on connaît les températures. Pour celles dont on connaît plutôt

logique : ∀x ∈ R ( f (x) = 1 =⇒ x 0). Mais surtout n’écrivez pas « ∀ x réel, si f (x) = 1 =⇒ x positif ou nul ». Enfin, pour passer d’une ligne à l’autre d’un raisonnement, préférez plutôt « donc » à « =⇒ ». – Il est défendu d’écrire ∃, =⇒ . Ces symboles n’existent pas ! Mini-exercices 1. Écrire la table de vérité du « ou exclusif ». (C’est le ou dans la phrase « fromage ou dessert », l’un ou l’autre mais pas les deux.) 2. Écrire la table de vérité de « non (P et Q) ». Que remarquez vous ? 3. Écrire

l’imp´dance e e D´riv´e logarithmique de l’imp´dance e e e Capacit´ surfacique e Exposant de l’imp´dance ` l’´chelle δ e a e Recouvrement ` l’´chelle δ a e Fonction d’Euler Param`tre d’´chelle, une distance e e Fonction δ de Dirac ou symbole de Kronecker Probabilit´ de r´flexion e e Permittivit´ relative (constante di´lectrique) e e Permittivit´ absolue du vide (constante ´lectrique) e e Imp´dance surfacique e Transform´e de Laplace inverse de l’imp´dance effective Z(Λ) e e Moments

l’int´grale e 1 −1 f (x) √ dx 1 − x2 est convergente. o e (b) On note tn le polynˆme de Tchebychev de degr´ n. 1 tn (x)tk (x) √ −1 1−x2 1 xn tm (x) √ dx −1 1−x2 On rappelle le r´sultat e Kronecker. Calculer π 2 dx = pour δn,k o` δn,k est le symbole de u n < m. (c) On note x0 , x1 , x2 les racines de t3 . D´terminer trois r´els A0 , A1 , A2 tels que e e pour tout polynˆme P de degr´ ≤ 2 on ait o e 1 −1 P (x) √ dx = A0 P (x0 ) + A1 P (x1 ) +

PO HN EC UE IQ Préface ÉC LE O LY T PO HN EC UE IQ ÉC LE O LY PO CH TE IQU N E Préface des grandes difficultés de la pédagogie de la relativité générale, c’est-à-dire faire le rapport entre tous les symboles et les mesures. Dans le même esprit phénoménologique, dans un chapitre, on abandonne les coordonnées comobiles habituelles pour utiliser un système simple qui peut être construit de façon opérationnelle par un observateur en chute libre. Dans un

dans le répertoire souhaité. Une première manière d’organiser les données consiste à les placer dans un fichier CSV et à les délimiter par des points-virgules dans les versions francophones d’Excel où le symbole décimal utilisé est la virgule, ou par des virgules dans les versions où le symbole décimal utilisé est le point. Si vous disposez de k variables ayant chacune n observations, organisez le fichier de données sous Excel de la manière suivante, où x(i, j) est l’observation de date i pour la

elles que nos pensées se tournent. Nancy le 15 avril 2008 El-Haj Laamri, Philippe Chateaux, Gérard Eguether, Alain Mansoux, David Rupprecht, Laurent Schwald xv Les exercices qui nous ont semblé les plus difficiles sont signalés par un ou deux symboles . Ã Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Les exercices de ce chapitre portent sur une partie du cours qui pour son essentiel a été vue en première année. Les notions de famille génératrice, famille libre et base sont simplement