Tan-Tan

sph`re ? e Exercice 16. Racines de l’unit´ e R´soudre : e 1) 2) 3) 4) (z + 1)n = (z − 1)n . (z + 1)n = z n = 1. z 4 − z 3 + z 2 − z + 1 = 0. 1 + 2z + 2z 2 + . . . + 2z n−1 + z n = 0. 1 + ix = 1 − ix n−1 6) x = x . 3 z+1 + 7) z − 1 5) n 1 + i tan a . 1 − i tan a z−1 z+1 3 = 0. Exercice 17. Sommes sur les racines de l’unit´ e Soit ω = exp 2iπ . Calculer : n n−1 1) k=0 (1 + ω k )n . n−1 n−1 2) k=0 =k C k ω k+ . Exercice 18. Somme des puissances p-`mes des racines de l’unit´

indicatif. Il n’est pas n´ cessaire de traiter tout le sujet pour avoir la note maximale. o e Exercice 1: Trigonom´ trie√ √ e (30mn) π π π e On rappelle que cos( 12 ) = 2+ 6 . En d´ duire les valeurs suivantes : sin( 12 ), tan( 12 ), cos( −π ), sin( 11π ) , sin( 5π ), 4 12 12 12 23π tan( 12 ). Placer les points correspondants sur un cercle trigonom´ trique. e Exercice 2: Angles (30mn) a) Rappeler la relation liant (u, v) et (u, −v), pour tous vecteurs u et v non nuls. Faire un dessin. b) Soit ABCD un

l’astre à l’œil nu (= diamètre apparent). Les angles θ et θ′ étant petits, on peut faire les approximations suivantes, en exprimant les angles en radians : tan θ ≃ θ et tan θ′ ≃ θ′ O1 O2 Dans le triangle O1 B1 A1 , rectangle en A1 : A1 B 1 A1 B 1 = θ ≃ tan θ = O1 A1 f1 Dans le triangle A1 B1 O2 , rectangle en A1 : A1 B 1 A1 B 1 = θ′ ≃ tan θ′ = O2 A1 f2 En reportant ces formules dans la définition du grossissement : f1 θ′ A 1 B 1 G= = × θ f2 A1 B 1 f1 G= =⇒ f2 Le grossissement d’une lunette astronomique

s’est déplacé vers la droite. La force en A de 0 sur 1 s’oppose au glissement éventuel de 1 par rapport à 0. • • • • • L’angle d’inclinaison de la force en A défini le facteur (coefficient) de frottement (noté f) entre 0 et 1. A0/1 P1 f = tan ϕ → f dépend : des matériaux, de la rugosité, de la lubrification, des surfaces en contact. Les trois remarques précédentes permettent de construire le dynamique des forces à l’équilibre strict : B Lois de Coulomb : On utilise un cône pour

marocain. Les réserves sont d’environ 1,5 millions de tonnes, avec un pourcentage de métal de 75 %, ce qui rend son exploitation coûteuse et difficile. La zone est également riche en sel grâce aux nombreuses salines 3 Il s’agit les ports de Tan Tan, Tarfaya, Laâyoune, Boujdour et Dakhla. E-M. CHMOURK naturelles présentes partout au Sahara dans les sebkhas4. La saline de Tazgha est la plus importante, avec des réserves de 4,5 millions de tonnes. L’exploitation du sable est également d’une

augmente jusqu’à une certaine limite αmax. 7.1 Adhérence : 0 < α < αmax Cône d’adhérence La force _F3/2 est insuffisante pour mettre en mouvement 2. La force _A1/2 se situe dans un cône mathématique appelé cône d’adhérence. α 2 tan α = 3 ||_F3/2|| ||£P|| αmax _A1/2 _N1/2 Action normale G _T1/2 est la force d’adhérence : elle s’oppose toujours à la force _F3/2 . 7.2 A _T1/2 Equilibre strict : α = αmax, ||_F3/2||=||_T1/2|| La force d’adhérence

A la segunda puse nonbre la isla de Santa María de Concepción; a la tercera, Ferrandina; a la cuarta la Isabela; a la quinta la isla Juana, e así a cada una nonbre nuevo. Cuando yo llegué a la Juana seguí io la costa d'ella al poniente, y la falle tan grande, que pensé que sería tierra firme, la provincia de Catayo. Y como no fallé así villas y luguares en la costa de la mar, salvo pequeñas poblaciones, con la gente de las cuales no podía haver fabla, porque luego fuían todos, andava yo adelante

dt = Arcsin t + C 1 − t2 ch t dt = sh t + C cos t dt = sin t + C sh t dt = ch t + C sin t dt = − cos t + C dt = th t + C ch2 t dt = tan t + C cos2 t dt = −coth t + C sh2 t dt = −cotan t + C sin2 t dt = 2Arctan et + C ch t √ dt = ln tan cos t t π + 2 4 +C dt t = ln tan + C sin t 2 tan t dt = − ln |cos t| + C cotan t dt = ln |sin t| + C dt t = ln th +C sh t 2 th t dt = ln (ch t) + C coth t dt = ln |sh t| + C ) . ( ) {

Ejemplo de Jarcha   | | | | | | Ejemplo de jarcha típica: (En romance) Vayse meu corachón de mib. ya Rab, ¿si me tornarád? ¡Tan mal meu doler li-l-habib! Enfermo yed, ¿cuánd sanarád? (traducción al castellano actual) Mi corazón se me va de mí. Oh Dios, ¿acaso se me tornará? ¡Tan fuerte mi dolor por el amado! Enfermo está, ¿cuándo sanará? Garid vos, ay yermanelas, ¿Com´ contenere meu mali? Sin el habib no vivreyu ed volarei demandari. (Decidme

Trigonométrie : exercices, niveau troisième 1 Retrouver quelques valeurs exactes : En lisant un vieux livre de mathématiques Théodule trouve le tableau suivant : angle en ° sin cos tan 1 30 45 60 Pour retrouver ces valeurs : 1.1 Théodule construit un triangle équilatéral ABC dont les longueurs des côtés mesurent 2 (unités de longueur). Il appelle H le projeté orthogonal de A sur [BC], c’est aussi le pied de la hauteur, passant par A, du triangle. 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 Quelles