Nombres complexes

2239 mots 9 pages
Nombres complexes
Exercice 1. zi + zj 1) Soient u, v ∈ C. Montrer que |u + v| + |u − v|
4

|u| + |v|, et d´terminer les cas d’´galit´. e e e
3 4

2) Soient z1 , z2 , z3 , z4 ∈ C. Montrer que k=1 |zk | k=1 =k+1

|zk + z |.

´ Exercice 2. Equations affines 1) Montrer que toute droite du plan a pour ´quation complexe : az + az = b avec a ∈ C∗ , b ∈ R. e 2) Soient a, b, c ∈ C, a, b non tous deux nuls. Discuter la nature de E = {z ∈ C tq az + bz = c}. Exercice 3. Transformation C \ {i} −→ Soit f : z −→ homographique C \ {1} z+i z−i 1) Montrer que f est bijective. 2) D´terminer f (R), f (U \ {i}), f (iR \ {i}). e

Exercice 4. Soient a, b ∈ U distincts et z ∈ C. On note u = z + abz − a − b . Montrer que u2 ∈ R. a−b Exercice 5. Triangle ´quilat´ral e e Soient a, b, c ∈ C distincts. Montrer que les propositions suivantes sont ´quivalentes : e 1) {a, b, c} est un triangle ´quilat´ral. e e 2) j ou j 2 est racine de az 2 + bz + c = 0. 3) a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc. 1 4) 1 + 1 + c − a = 0. a−b b−c Exercice 6. Sommets d’un carr´ e a + ib = c+id Soient a, b, c, d ∈ C tels que a + c = b+d. Que pouvez-vous dire des points d’affixes a, b, c, d ? En d´duire qu’il existe z ∈ C tel que (z − a)4 = (z − b)4 = (z − c)4 = (z − d)4 . e Exercice 7. Configuration de points D´terminer les nombres z ∈ C tels que . . . e 1) z, z 2 , z 4 sont align´s. e 2) 1, z, z 2 forment un triangle rectangle. 1 3) z, z , −i sont align´s. e Exercice 8. a + b + c = 1 Trouver a, b, c ∈ U tels que a+b+c=1 abc = 1.

Exercice 9. u + v + w = 0 Soient u, v, w trois complexes unitaires tels que u + v + w = 0. Montrer que u = jv = j 2 w ou u = jw = j 2 v. Exercice 10. z + 1/z = 2 1 Trouver les complexes z ∈ C∗ tels que z + z = 2. Exercice 11. Sym´trique par rapport ` une droite e a Les points A, B, M ayant pour affixes a, b, z, calculer l’affixe du sym´trique de M par rapport ` la droite (AB). e a Exercice 12. Orthocentre d−b Soient a, b, c, d ∈ C deux ` deux distincts. Montrer que si deux des rapports d −

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