Théorème de Cauchy-Hadamard

. . . . 6.4 Un première formulation variationnelle du problème de Dirichlet homogène 55 55 57 58 60 7 Espaces de Sobolev 7.1 Définitions et propriétés . . . . . 7.2 L’espace H01 (Ω) . . . . . . . . . . 7.3 Traces et formules de Green . . . 7.4 Théorème de compacité de Rellich 7.5 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 63 66 68 70 72 . . . . 75 75 77 81 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 0 0.5 1 1.5 2 Figure 1.2 – Le polynôme p(z, d) pour trois valeurs de d prés de zéro (d = −0.07, 0, 0.09). 1.1.1 Problèmes bien/mal posés La notion de problème bien/mal posé a été introduite pour la première fois par Hadamard [3]. Afin de faciliter la présentation dans l’analyse qui suit, nous nous limiterons à considérer le cas des problèmes explicites. Définition 2 (Problème bien posé). Le problème mathématique x = F (d) est bien posé si la solution x – existe, –

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Systèmes stochastiques 77 3.1 Introduction aux probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3 Le théorème central de la limite et les lois fortes des grands nombres 99 3.4 Espérances conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.5 Loi de Poisson et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.6 La loi du Chi deux . .

1.2 4 4 Applications linéaires 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.4 CHAPITRE 2 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 2.1 2.2 2.3 Familles libres, familles liées, familles génératrices Sommes, sommes directes Théorème d’isomorphisme Interpolation de Lagrange Théorème du rang 9 9 10 11 Dualité 13 1.3.1 1.3.2 1.3.3 Généralités Hyperplans Bases duales 13 14 16 Calcul matriciel 22 1.4.1 1.4.2 Trace Blocs 22 27 Déterminants 35 Le groupe symétrique 36 2.1.1 2.1.2 2.1.3 36 36

que xk = 0, donc que X = 0. Ce resultat est connu sous le nom de theoreme de Hadamard. 2. Le scalaire est une valeur propre de A si et seulement si la matrice A ; I n'est pas inversible c'est-a-dire si et seulement si, par la question precedente, il existe i 2 f1 : : : ng tel que : jaii ; j X j 6=i jaij j ce qui signi e que 2 n i=1 D(ai i X j 6=i jai j j). Ce resultat est connu sous le nom de theoreme de Gerchgorin. 3. a) D'apres la question precedente, est une valeur

condition sur α, β , fα,β est-elle d’ordre fini ? 21 [002992] [002993] Exercice 2994 Théorème de Lagrange Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. On définit une relation sur G par : ∀ x, y ∈ G, x ∼ y ⇐⇒ ∃ h ∈ H tel que x = hy. 1. Montrer que ∼ est une relation d’équivalence. Quelle est la classe de e ? 2. Soit a ∈ G. Montrer que a˙ est équipotent à H. 3. En déduire que Card H divise Card G (Théorème de Lagrange). [002994] Exercice 2995 Relation d’équivalence avec deux sous-groupes Soient

2. A quelle condition sur α, β , fα,β est-elle d’ordre fini ? [002993] Exercice 2994 Théorème de Lagrange Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. On définit une relation sur G par : ∀ x, y ∈ G, x ∼ y ⇐⇒ ∃ h ∈ H tel que x = hy. 1. Montrer que ∼ est une relation d’équivalence. Quelle est la classe de e ? 2. Soit a ∈ G. Montrer que a est équipotent à H. ˙ 3. En déduire que Card H divise Card G (Théorème de Lagrange). [002994] Exercice 2995 Relation d’équivalence avec deux sous-groupes Soient

La plupart des math´maticiens sont d’accord sur un e certain nombre d’axiomes (ceux qui fondent la th´orie des ensembles, voir chapitre suivant) e qui sont donc la plupart du temps sous-entendus. Par exemple nous verrons au chapitre 5 que : ´ ` THEOREME: Soit n un nombre entier qui n’est pas le carr´ d’un entier alors il n’existe e √ 2 pas de nombre rationnel x tel que x = n (en d’autres termes n n’est pas un nombre rationnel). Pour appliquer un th´or`me ` une situation donn´e, on doit d’abord v´rifier

entrée dans l’enseignement supérieur. Il nous reste à vous souhaiter bon courage en espérant que nous aurons, à travers cet ouvrage, contribué à votre succès. ANALYSE p. 5 Chapitre 01 – Suites Chapitre 02 – Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires Chapitre 03 – Dérivation Chapitre 04 – Fonctions sinus et cosinus Chapitre 05 – Fonction exponentielle Chapitre 06 – Fonction logarithme népérien Chapitre 07 – Intégration p. 6 p. 12 p. 16 p. 20 p. 24 p. 28 p. 32 GÉOMÉTRIE

44 2.3.5.3 Additivité ............................................. 45 2.3.504 Loi de U2 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 45 La loi log-normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Loi de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Loi de Weibull. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Loi de Gumbel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .