Unité imaginaire

effet : (−i)2 = i2 = −1. Les deux racines de −1 sont les deux nombres irréels i et −i. Un peu d’histoire : La notation i fut introduite par Euler en 1777, puis reprise par Gauss au début du XIXème siècle. Cependant, le premier à parler de nombre imaginaire fut le très cartésien Descartes en 1637. I.2 L’ensemble des nombres complexes On connait déjà 5 ensembles permettant de "ranger" les nombres : il s’agit de N, Z, D, Q et R : π R Q 1236π 0.333 D 0.008 Z −1 −10025 N 1 0 −37 √ 9 3 25

j) Exercice n°3 : Restitution organisée de connaissances z a. Démontrer qu’ un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si ̄=− z . z b. Démontrer qu’un nombre complexe z est réel si et seulement si ̄= z. c. Démontrer que pour tout nombre complexe z, on a l’égalité : z ̄=∣z∣2 z . Exercice n°4 : z Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que Z=i z +2 ̄ +1 soit : a)un imaginaire pur b) un nombre réel. v n =u n−6 . en fonction de n . 

algébrique ? Méthode Pour déterminer un ensemble de points , on doit : . savoir traduire une donnée de l’énoncé (exemples : si z est réel alors son image M est sur l’axe des abscisses ; si z est imaginaire pur alors son image M est sur l’axe des ordonnées ; si[pic] alors l’image M de z est à la distance 2 du point d’affixe i ) . savoir reconnaître les ensembles de points les plus classiques :

nombre complexe ; déterminer en fonction de , les solutions de l’équation f(z) = f(). 3) Montrer que si z est imaginaire pur alors f(z) est réel. 4) Déterminer l’ensemble E des complexes z tels que f(z) soit réel. Exercice3 : a) Calculer les coordonnées de M’ en fonction de celles de M. b) Donner une équation cartésienne de l’ensemble H des points M(z) tels que z’ soit imaginaire pur. c) Donner une équation cartésienne de l’ensemble K des points M(z) tels que |z’|= . Exercice4 : Déterminer

z–1+i . z + 2i     On pose z = x + iy, x et y sont deux réels. 1. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et y. x ² + y ² – x + 3y + 2 On vérifiera que Re (Z) = . x ² + (y + 2) ² 2. En déduire la nature de : a. L’ensemble E des points M d’affixes z tels que Z soit un réel ; b. L’ensemble F des points M d’affixes z tels que Z soit un imaginaire pur. 3. Représenter ces deux ensembles 

coordonnées (x, y), l'affixe de M est le nombre complexe z=x+iy où i est le nombre imaginaire qui vérifie L'ensemble des nombres complexes est noté . ) . x+iy est la forme algébrique de z. (avec x et y x est la partie réelle de z : on la note x=Re(z) y est la partie imaginaire de z : on la note y=Im(z) z est aussi l'affixe du vecteur Exemple : . Soient z=x+iy et z'=x'+iy' z=z' Re(z)=0 Im(z)=0 z=iy z=x z est un imaginaire pur z est un réel Tout point M du plan d'affixe z=x+iy a pour symétrique

écris en lettres les nombres : 1,378 - 12,05 - 0,014 - 1,016 2. Donne l'écriture décimale des nombres suivants : 3 + 39 + + + 3. La droite graduée Pour graduer une droite, on choisit : un sens, une origine O et une unité de longueur O B D A C

trivial ni d’extravagant. Je voudrais surtout que, sous le voile de la fable, il laissât entrevoir aux yeux exercés quelque vérité fine qui échappe au vulgaire. » Le Taureau blanc. En effet, Voltaire définit le conte comme un récit d’aventures imaginaires mais qui donne l’apparence de la vérité, il souhaite conter de façon amusante des faits qui s’inspirent directement de la réalité et qui s’en éloignent peu. On peut dire ainsi que Candide rempli la fonction d’apologue, texte amusant exposant une

l’histoire; savoir pourquoi Chloé écrit par exemple | |c] |,suivre son évolution | |[pi|savoir identifier les lieux, réels ou imaginaires, où se déroulent les faits | |c] | | |[pi|savoir situer les

littéraires Conte Personnages Lieux Temps Actions Péripéties Fin de l’histoire Intention d’écriture   Fée, farfadet, magicien, animaux qui parlent, objets  animés,…      Pays imaginaire, monde merveilleux, château, forêt  enchantée,…    Il était une fois…  Jadis, …      Toujours imaginaire et irréaliste      Basé sur des éléments imaginaires (sort, potion, poison,  le méchant qui tente de détruire le bon, objets qui  s’animent ou se transforment)    Se termine toujours bien  … ils vécurent heureux et eurent beaucoup d’enfants