Variables Pivot

exactes : A et C 4 Exercice 4 – Soit la fonction f définie par :  1  si x  a ; b  f x   b  a  0 si x  a ; b   où x   , a   , b   et a  b Quand f est une densité de probabilité, on note X1 la variable aléatoire associée à f. On note X2 la variable aléatoire égale à la transformation linéaire suivante de X1 : X2 = 3 X1 +1. 1- Parmi les propositions suivantes, laquelle est (ou lesquelles sont) exacte(s) ? A) f x  est toujours une densité de probabilité. B) Si a

nombre de variables indépendantes, ne semble plus adéquat lorsque des événements rares ou extrêmes deviennent normes, comme lors de la crise des Subprimes. A ce titre, la Value-at-Risk, qui peut se définir comme le quantile déterminant la plus grande perte que peut subir un portefeuille avec une probabilité d'occurrence déterminé, permet de mesurer ce risque extrême. La théorie des valeurs extrêmes (TVE), étudiée dans le cadre de la recherche d'évènements rares d'une suite de variable s aléatoires

LEÇON 9 Marches aléatoires Niveau : Terminale S Prérequis : aucun 1 Chaînes de Markov Chaîne de Markov I Définition 9.1 Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (Xn , n ∈ N) qui permet de modéliser l’évolution dynamique d’un système aléatoire : Xn représente l’état du système à l’instant n. Propriété de Markov Propriété 9.2 L’évolution future du système ne dépend du passé qu’à travers de sa valeur actuelle. Autrement dit, conditionnement à Xn , (X0

CHAPITRE 4 A) Effectifs et fréquences. 1) Définitions. On étudie une population selon un caractère précis qui peut prendre différentes valeurs. ◼ L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus de la population prenant cette valeur. ◼ La fréquence d'une valeur est le quotient de l'effectif de cette valeur par l'effectif total : Fréquence = effectif de la valeur effectif total ◼ L'effectif cumulé croissant d'une valeur x est la somme des effectifs de toutes

Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à 10−3 près. Partie A : Conditionnement des pots 1. On veut p(X 6 49). Avec la calculatrice p(X 6 49) ≈ 0.202. 2. On note σ ′ le nouvel écart-type, et Z la variable aléatoire égale à X −50 σ′ a. La variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite. b. Une valeur approchée du réel u tel que p(Z 6 u) = 0,06 est u ≈ −1.555. c. Z = X −50 σ′ ⇔ X = σ ′Z +50 p(X 6 49) = 0,06 ⇔ p ¡ σ ′Z +50 6 49¢ = 0,06 ⇔ p µ Z 6 −

STATISTIQUE INDUCTIVE 2ème LFG-HEC(PREPA) TD n0 2 : Convergence, échantillonnage et estimation Exercice 1 Soit X une variable aléatoire qui suit une loi Hypergéométrique H(1000 ; 50 ; p) 1) Par quelle(s) lois peut-on approcher la loi de X lorsque p = 0, 5 ? 2) Par quelle(s) lois peut-on approcher la loi de X lorsque p = 0, 05 ? Exercice 2 Une entreprise compte 300 employés. Chacun d’eux téléphone en moyenne 6 minutes par heure. Soit X la VAR égale au nombre d’employés qui téléphonent à

individus de la population, le caractère peut a priori prendre des valeurs aléatoirement différentes. Ainsi, le caractère peut être représenter par une variable aléatoire X. Lorsque le caractère est quantitatif (taille des individus,...), X sera une variable aléatoire égale aux valeurs du caractère ; on supposera en général que X est une variable aléatoire d’espérance mathématique (moyenne) , d’écart-type , et éventuellement de loi normale. Lorsqu’on n’a pas accès à l’ensemble de la population

communication, aéronautique, astronautique, acoustique, contrôle de processus chimique, ingénierie biomédicale, traitement de la parole, économie, météorologie... • information représentée sous forme de signal  Signal : • fonction de une ou plusieurs variables indépendantes : f(x,y,z) • représente / contient information sur un phénomène (physique)  Types de signaux Signaux discrets: f[n], n ∈ Z Signaux continus: f(t), t ∈ R t n  Dimension du signal : • 1D : f(t) f[n] • 2D :f(u,v) f[i,j]

Le but Le but du laboratoire est de comparer deux sortes de yogourts avec deux temps d’incubation différents (12h. et 24h.) sur les caractéristiques suivantes : l’odeur, la texture et le goût. Variable indépendante: le temps d’incubation (12h. et 24h.) Variable dépendante: l’odeur, la texture et le goût (L’odeur, la texture et le goût des deux yogourts selon le temps d’incubation) L’hypothèse Nous croyons que le yogourt incubé pendant 12 heures sera plus sucré, car les

ou petite ? EXERCICE 4 : Un cube en bois a été peint en bleu, puis découpé en partageant chaque arête en trois tiers. On a obtenu des petits cubes qui ont été disposés dans un sac. On retire alors au hasard un de ces cubes du sac. On note T la variable aléatoire définie par le nombre de faces peintes en bleu sur le cube tiré. Déterminer la loi de probabilité de T, puis l’espérance mathématique, la variance et l’écart type de T. EXERCICE 5 : Un jeu de hasard est formé d’un dispositif lançant de