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Les graphes

Table des matières
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Définitions

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Chaîne eulérienne : les points de Königberg.

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3

Recherche de la plus courte chaîne

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Opération sur les matrices.

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Puissance nieme de la matrice associée à un graphe.

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Graphe étiqueté et graphe probabiliste.

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PAUL MILAN

11 novembre 2009

T ERMINALE S

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DÉFINITIONS

Définitions
Définition 1 : Introduction
Un graphe G est une représentation composée de sommets et d’arêtes.
L’ordre d’un graphe est égal au nombre de ses sommets.
Deux sommets sont dits adjacents s’ils sont reliés par une arête.
Le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes dont ce sommet est une extrémité.
Un sous-graphe est un graphe G composé de certains sommets de G ainsi que toutes les arêtes qui relient ces sommets.

Théorème 1 : La somme des degrés des sommets d’un graphe est égale à
2 fois le nombre d’arêtes du graphe.
Remarque : une boucle se compte deux fois.

Définition 2 : La matrice associée à un graphe possédant n sommets est la matrice suivante pour le graphe ci-dessous



0
1

1

1
0

1
0
0
0
0

1
0
0
1
0

1
0
1
0
1


0
0

0

1
0

Définition 3 : Graphe et couleurs
Un graphe dont les sommets sont 2 à 2 adjacents est appelé graphe complet.
Colorier un graphe consiste à affecter une couleur à chacun de ses sommets de sorte que 2 sommets adjacents ne porte pas la même couleur.
Le nombre chromatique d’un graphe est le plus petit nombre de couleurs permettant de le colorier.
Remarque : Un algorithme pour colorier un graphe : l’agorithme glouton.
On passe en revue chacun des sommets en les classant dans l’ordre décroissant de leurs degrés.

PAUL MILAN

11 novembre 2009

T ERMINALE S

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Théorème 2 : Soit ∆ le plus haut degré des sommets d’un graphe. Alors le nombre chromatique de ce graphe est inférieur ou égal à ∆ + 1.
Soit G un sous-graphe complet de G d’ordre n alors le nombre chromatique de G est supérieur ou égal à n.
Si C est le nombre chromatique de G alors : n

2

C

∆+1

Chaîne