Carriere Flora
Indicatif :
Devoir n°2

Mathématique :

Exercice 1 :

Partie A :

1. Compléter ce tableau :

Mois n
1
2
3
4
5
Un arrondi à 10^-3 près
5
8,750
11,562
13,671
15,254
Nombre de disques durs produits le mois n arrondi à l'unité
5000
9000
11500
13700
15200

2.
a. lecture graphique : U8 = 18
b. En déduire : 18000 disques durs fabriqués le huitième mois

3 Prouver que la suite de terme général Un est croissante :

Une suite Un est croissante si et seulement si pour tout n superieur ou égale à 0 , Un+1 superieur ou égale à Un.

Ici la suite Un est représenté par la fonction f(x) = 20 -20 x 0,75^x

f est croissante sur [ 1 ; + l'infini ] si x1 < x2 => f(x1) < f(x2) avec x1 et x2 appartenant à l'intervale.

On prends x1 = 3 et x2 = 100
On calucle f(3) = 20 - 20 x 0,75 ^3 = 11,56 f(100) = 20 – 20 x 0,75 ^100 = 19,99

si f(x2) – f(x1) > 0 alors f est croissante . 19,99 – 11,56 = 8,43

Donc f est croissante donc la suite Un est croissante

4 Montrer que cette suite est majorée :

On dit que la suite u est majorée lorsqu’il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, Un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u.

Sur le graphique on devine que Un est majoré sur 20.

On étudie le signe de Un – 20 = 20-20x0,75^n-20 = -20x0,75^n < 0 ( sachant que n est compris entre 1 et + l'infini ). Donc Un-20 < 0 ou encore Un < 20 c'est à dire que la suite de terme Un est majorée par 20.

5 En déduire que cette suite est convergente : La suite est croissante et majorée par 20, donc elle est convergente (théorème des suites croissantes majorées).

6
a. Graphiquement on remarque que plus les mois passes plus la production de disque dur baisse, le plus grand écart étant entre le 1 et le 2 mois. Elle passe de 5000 à 8400 ( graphiquement ). 8400-5000 < 19000 . Donc graphiquement déjà on remarque que c'est impossible.

b. Justifier par une résolution algébrique