Mathématiques - brevet de technicien supérieur session 2006 - groupement B
Exercice 1 (sur 11 points)
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
A. Résolution d’une équation différentielle
On considère l’équation différentielle (E) : y ′′ − 3y ′ − 4y = −5e−x où y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur R, y ′ la fonction dérivée de y et y ′′ sa fonction dérivée seconde.
1. Déterminer les solutions sur R de l’équation différentielle (E0 ) : y ′′ − 3y ′ − 4y = 0.
2. Soit h la fonction définie sur R par h(x) = xe−x .
Démontrer que la fonction h est une solution particulière de l’équation différentielle (E0 ).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de léquation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales f (0) = 2 et f ′ (0) = −1.
B. Étude locale d’une fonction
−
→ −
→
La courbe C ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormal (O ; i , j ), de la fonction f définie sur R par f (x) = (x + 2)e−x .

3
2

C

1
−3

−2

−1

O

1

2

3

−1
−2
−3

1. Démontrer que le développement limité à l’ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction f est f (x) = 2 − x +

x3
+ x3 ε(x) avec lim ε(x) = 0. x→0 6

2. Déduire du 1. une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0.
3. Étudier la position relative de C et T au voisinage du point d’abscisse 0.
C. Calcul intégral
0,6

f (x) dx.

On note I =
0

1. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que I = 3 − 3, 6e−0,6 .
2. Donner la valeur approchée arrondie à 10−3 de I.
3. Donner une interprétation graphique du nombre I.
1

Exercice 2 (sur 9 points)
Une entreprise fabrique des chaudières de deux types :
– des chaudières dites « à cheminée ».
– des chaudières dites « à ventouse ».
Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
A. Ajustement affine
Le nombre de chaudières fabriquées lors des années précédentes est