Algorithmik

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algorithmik Esnard Aurélien

Algorithmique Numérique

Généralités
Normes et rayon spectral: Définition norme vectorielle :

x a x , R n → R+ vérifiant :
-

x ≥ 0 et x = 0 ⇔ x = 0

α .x = α . x
x+ y ≤ x + y
= ∑ xi
i

Exemple de norme vectorielle : Norme 1 : Norme 2 : Norme ∞ :

X X
X

1

2

=

∑x
i
i

2 i

=

X, X



= Sup xi

Proposition : En dimensionfinie, toutes ces normes sont équivalentes ; en pratique, on choisit celle qui nous arrange. Définition norme matricielle : C'est une norme dans l'espace vectorielle Mn(R), avec en plus

A× B ≤ A . B .

Norme matricielle induite : A partir d'une norme vectorielle, on construit une norme matricielle induite :

 AX   A = Sup Sup  X  = X =1 ou X X ≠0   Notons de plus que I = 1 .

≤1( AX ) .
I = ρ A t A avec ρ le rayon spectral.

En particulier pour la norme 2, on a la relation : Propriétés : -

2

(

)

AX ≤ A . X et AB ≤ A . B
Cas de A symétrique : Dans le cas général,

A A
2

2

= ρ ( A) = max λi
i

= µ max , maximum des valeurs singulières µ i = λi avec λi les valeurs
t

propres (positives) de la matrice symétrique A -

A . (?)

Soit A unematrice carré quelconque n x n. Pour toutes normes de matrice induite, on a

ρ ( A) ≤ A

.

Conditionnement d’une matrice inversible : Considérons un système linéaire AX=b. L'expérience de Wilson met un évidence une instabilité des calculs dans certains cas. Si l'on modifie sensiblement les paramètres de la matrice A, ou du second membre b, on peut trouver des résultats complètement différends! -

Cond ( A) = A . A −1

Esnard Aurélien

Algorithmique Numérique

-

Cond (αA) = Cond ( A) Cond ( A) ≥ 1 avec Cond (Id ) = 1 Soit une matrice Q orthogonale : QX
Cond 2 ( A) =

2

= X

2

et

Cond (Q ) = 1
Cond 2 ( A) =

Les bons conditionnements sont les petits conditionnements (au mieux 1 pour les matrices orthogonales). Pour A symétrique :

λ max λ min

; dans lacas général :

µ max µ min

Théorèmes sur le conditionnement :

Théorème :

AX = B et A( X + ∆X ) = b + ∆b . On a AX = B et ( A + ∆A)( X + ∆X ) = b . On a

∆X ∆b ≤ Cond ( A) . X b

Théorème :

∆A ∆X . ≤ Cond ( A) X + ∆X A

Remarque : Le conditionnement traduit l'amplification des grandeurs relatives.

Inverse numérique d’une matrice : Soit A une matrice inversible et A-1 soninverse théorique. M est un inverse de A du point de vue numérique si : -

M − A−1 A−1 M −1 − A

est petit, ce qui correspond à M=A-1

l'inverse

A AM − Id et MA − Id sont petits, ce qui correspond à AM − Id = 0 et MA - Id = 0
X = A−1b

est petit, ce qui correspond à A=M-1

On s'adapte au calcul que l'on veut faire. Notons que l'on résout rarement un système linéaire en calculant Esnard Aurélien

Algorithmique Numérique

Systèmes linéaires Ax=b : méthodes directes
Formules de Crammer
Cette méthode nécessite le calcul d'un déterminant, dont la complexité est en n!. La compléxité de la formule de Cramer est en n 2 n!. Par conséquent, cette méthode n'est pas utilisable en informatique.

Méthode du pivot de Gauss
 ai ,k i > k , Ligne i −  a  k ,k n3 L'algorithme àune complexité en . 3
À la kème étape : pour

 a  Ligne k . On pose l i ,k = i , k .  a k ,k 

Le problème des coefficients diagonaux nuls : il faut permuter les lignes lorsque apparaît un zéro sur la diagonale. Stratégie du pivot maximum partiel : On permute la kème ligne et la ième ligne avec i tel que

ai , k = Sup al ,k . Pour des raisons de stabilité
l ≥k

numérique, on divise parle terme de la colonne k, qui a la plus grande valeur absolue. Stratégie du pivot avec seuil : On effectue une permutation uniquement des

a k ,k < ε . Cependant cette méthode peut être mise en défaut. Il

vaut mieux utiliser la méthode du pivot maximum partiel, qui n'est pas vraiment plus coûteuse en calcul.

Calcul de l’inverse
Une idée pour résoudre le sytème Ax=b serait de calculer...
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