algorithmik Esnard Aurélien

Algorithmique Numérique

Généralités
Normes et rayon spectral: Définition norme vectorielle :

x a x , R n → R+ vérifiant :
-

x ≥ 0 et x = 0 ⇔ x = 0

α .x = α . x x+ y ≤ x + y
= ∑ xi i Exemple de norme vectorielle : Norme 1 : Norme 2 : Norme ∞ :

X X
X

1

2

=

∑x i i

2 i

=

X, X

∞

= Sup xi

Proposition : En dimension finie, toutes ces normes sont équivalentes ; en pratique, on choisit celle qui nous arrange. Définition norme matricielle : C'est une norme dans l'espace vectorielle Mn(R), avec en plus

A× B ≤ A . B .

Norme matricielle induite : A partir d'une norme vectorielle, on construit une norme matricielle induite :

 AX   A = Sup Sup  X  = X =1 ou X X ≠0   Notons de plus que I = 1 .

≤1

( AX ) .
I = ρ A t A avec ρ le rayon spectral.

En particulier pour la norme 2, on a la relation : Propriétés : -

2

(

)

AX ≤ A . X et AB ≤ A . B
Cas de A symétrique : Dans le cas général,

A A
2

2

= ρ ( A) = max λi i = µ max , maximum des valeurs singulières µ i = λi avec λi les valeurs t propres (positives) de la matrice symétrique A -

A . (?)

Soit A une matrice carré quelconque n x n. Pour toutes normes de matrice induite, on a

ρ ( A) ≤ A

.

Conditionnement d’une matrice inversible : Considérons un système linéaire AX=b. L'expérience de Wilson met un évidence une instabilité des calculs dans certains cas. Si l'on modifie sensiblement les paramètres de la matrice A, ou du second membre b, on peut trouver des résultats complètement différends ! -

Cond ( A) = A . A −1

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-

Cond (αA) = Cond ( A) Cond ( A) ≥ 1 avec Cond (Id ) = 1 Soit une matrice Q orthogonale : QX
Cond 2 ( A) =

2

= X

2

et

Cond (Q ) = 1
Cond 2 ( A) =

Les bons conditionnements sont les petits conditionnements (au mieux 1 pour les matrices orthogonales). Pour A symétrique :

λ max λ min

; dans la