Centrale PSI 2 un corrig´ e Remarque pr´liminaire. e
Mp (K) est un espace de dimension finie o` toutes les normes sont ´quivalentes. Si (An ) est une suite u e d’´l´ments de Mp (K), on n’a as besoin de pr´ciser la norme quand on parle de convergence de (An ). ee e En particulier, si on choisit la “norme infinie relative ` la base canonique”, la convergence ´quivaut ` a e a la convergence coordonn´e par coordonn´e. e e

1

Question pr´liminaire. e z a b A. Soit z = 1 + n ; on a |z |2 = 1 + n + n2 et on distingue plusieurs cas. n = 0 est de module nul mais on ne d´finit pas son argument - Si (a, b) = (−n, 0) alors (1 + z/n) e (ou, alternativement, son argument est quelconque). z n b n nπ b n - Si a = −n et b > 0 alors 1 + n = n ei 2 . Comme n > 0, c’est la forme g´om´trique e e (avec le module et l’argument). nπ n n z n - Si a = −n et b < 0 on ´crit de mˆme 1 + n = −b e−i 2 . Comme −b > 0, c’est la e e n n forme g´om´trique (avec le module et l’argument). e e b z n - Sinon, on a z = |z |eiθn avec tan(θn ) = n+a et 1 + n = |z |n einθn . Pour expliciter θn , on doit encore distinguer deux cas selon le signe de la partie r´elle de z . e b - Si a > −n alors θn = arctan n+a . 2
2

- Si a < −n alors θn = π + arctan

b n+a

. 1+ a 2 n

B. a, b ´tant fix´, pour n assez grand on a a > −n. Ainsi, en posant rn = e e θn = arctan b n+a

+

b2 n2

et

on a ∃ n0 / ∀n ≥ n0 , 1+ z n n n = rn einθn

Remarquons que n rn =

1+

2a + O(1/n2 ) n

n/2

= exp

n 2a ln 1 + + O(1/n2 ) 2 n = exp (a + O(1/n)) → exp(a) n→+∞ nθn On en d´duit que e n→+∞ n→+∞

∼

bn → b a + n n→+∞ n lim

1+

z n

= ea eib = ez

2

Matrices antisym´triques r´elles d’ordre 2 ou 3. e e
2

A.1 On pose βn = 1 + α2 . βn est ´l´ment de R+∗ . De plus β1 I2 + A a ses deux colonnes norm´es ee e n n n et orthogonales et est donc dans O2 (R). Comme son d´terminant vaut 1, c’est mˆme un ´l´ment e e ee de SO2 (R) : 1 1 I2 + A ∈ SO2 (R) 2 n 1+ α n2 1

α e A.2