Bac 2010 maths

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Durée : 4 heures

Baccalauréat S Centres étrangers 14 juin 2010

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats

4 points

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Question 1 → → → − − − Dans l’espace muni d’un repère orthonormal O, ı ,  , k , on considère les droites(D1 ) et (D2 ) de représentations paramétriques :
  x y (D1 )  z

= = =

Affirmation : Les droites (D1 ) et (D2 ) sont orthogonales. Question 2

 −1 + 2t  x y −3t (t ∈ R) et (D2 )  z 1+t

= = =

1 − 2t 5 − t (t ∈ R). −2 + t

→ → → − − − Dans l’espace muni d’un repère orthonormal O, ı ,  , k , on considère le point A de coordonnées (2 ; −1 ; 3) et la droite (D) de représentationparamétrique :
  x y (D)  z

= = =

1 + 4t −2 + 2t (t ∈ R). 3 − 2t

Affirmation : Le plan (P ) contenant le point A et orthogonal à la droite (D) a pour équation : 2x + y − z = 0. Question 3 La durée de vie, exprimée en heures, d’un jeu électronique, est une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,0003. On rappelle que, pour tout t 0, p(X t) =
t 0

λe−λxdx.

Affirmation : La probabilité pour que la durée de vie de ce jeu soit strictement supérieure à 2 000 heures est inférieure à 0, 5. Question 4 A et B sont deux évènements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient : p(A) = 0, 4, p A (B) = 0, 7 et p A B = 0, 1. Affirmation : La probabilité de l’évènement A sachant que l’évènement B est réalisé est égale à 14 . 41

E XERCICE 2 Réservé auxcandidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

5 points

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

→ → − − Dans le plan complexe (P ) muni d’un repère orthonormal direct O, u , v d’unité graphique 4 cm, on considère le point A d’affixe a = −1 et l’application f , du plan (P ) dans lui·même, qui au point M d’affixe z, distinct de A, associe le point M ′ = f (M) d’affixe z ′ tel que : z′ = iz .z +1

1. Déterminer l’affixe des points M tels que M ′ = M. 2. Démontrer que pour tout point M distinct de A et de O, on a : OM ′ = 3. OM π → −− − −→ − → −− − −→ et u , OM ′ = MA , MO + à 2π près. AM 2

1 a. Soit B le point d’affixe b = − + i. 2 Placer dans le repère le point B et la médiatrice (∆) du segment [OA]. b. Calculer sous forme algébrique l’affixe b ′ du point B′ image du point B par f. Établir que B′ appartient au cercle (C ) de centre O et de rayon 1. Placer le point B′ et tracer le cercle (C ) dans le repère. c. En utilisant la question 2, démontrer que, si un point M appartient à la médiatrice (∆), son image M ′ par f appartient au cercle (C ). d. Soit C le point tel que le triangle AOC soit équilatéral direct. En s’aidant des résultats de la question 2, construire, à larègle et au compas, l’image du point C par f (On laissera apparents les traits de construction.)

4. Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l’ensemble (Γ) des points M distincts de A et de O dont l’image M ′ par f appartient à l’axe des abscisses. Les questions a. et b. peuvent être traitées de façon indépendante. a. On pose z = x + iy avec x et y réelstels que (x, y) = (−1, 0) et (x, y) = (0, 0). Démontrer que la partie imaginaire de z ′ est égale à : Im z ′ = x2 + y 2 + x (x + 1)2 + y 2

En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (Γ) et le tracer dans le repère. b. À l’aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l’ensemble (Γ).

E XERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement despécialité → → − − Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O, u , v d’unité graphique 1 cm, on considère les points A, B, C , M, N et P d’affixes respectives : a = 1 + i, b = −1 + 2i, c = 2 + 3i, m = 7 − 5i, n = 5 − i, p = 9 + i. 1. a. Placer les points A, B, C , M, N et P dans le repère. b. Calculer les longueurs des côtés des triangles ABC et N MP .

Centres étrangers

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