Bac math

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DM 2

SUR LES SUITES ADJACENTES, VERS LE NOMBRE e

TS

1. Factorielle d'un entier naturel. Soit n ∈ . On appelle factorielle de n l'entier noté n! défini par : n! = 1 × 2 × 3 × ... × n si n Par exemple, 3! = 1 × 2 × 3 = 6. Le but de cette première partie est de se familiariser avec les factorielles. (Les quatre questions sont indépendantes) a. Calculer 4!, 5! et 6!. Démontrer que 6! × 7! =10! (sans calculer 10! et sans utiliser de calculatrice) b. Simplifier 1 et 0! = 1

(n + 1)! . n!
*

c. Démontrer, par récurrence, que pour tout k ∈

, on a : k!

2k−1

d. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le plus petit entier n tel que : n! 107

2. Étude d'une suite.

On considère la suite (un) définie par : un =
a. Calculer u0, u1, u2 et u3. b. Démontrer que la suite (un)est strictement croissante. c. Le but de cette question est de prouver que (un) est majorée. (i) Démontrer que :
n

1 k! k =0

n

un

1+

1 2 k −1 k =1
1 2
n

n

(ii) Démontrer que :
k =1

1 2 k −1

= 2 1−

(iii) En déduire que (un) est majorée par 3. d. En déduire que la suite (un) converge. (On ne demande pas de calculer sa limite)

3. Étude de deux suites adjacentes.Dans cette partie, on prouve que deux suites sont adjacentes puis que leur limite est un nombre irrationnel. On considère la suite (vn) définie par :

vn = un +
La suite (un) est celle définie dans la partie 2. a. Calculer v0, v1, v2 et v3. Démontrer que la suite (vn )n

1 n!

2

est strictement décroissante.

En déduire que les suites (un )n On note leur limite commune.
 

2

et(vn )n

2

sont adjacentes.

b. Donner une valeur approchée, par défaut, de à 10−7 près (justifier). (On pourra utiliser la question 1.d.)
 

TS DM2 : suites adjacentes. Vers le nombre e

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G. COSTANTINI

(i)

Démontrer que pour tout entier n

2, on a : u n < < vn
uq <
 

On a donc, en particulier :

p < vq q

(ii) Démontrer qu'il existe un entier a tel que :
ap a 1 + < < q! q q! q! (ii) Démontrer que : a < p(q − 1)! < a + 1

(iv) En déduire une contradiction et conclure.

Information : on montrera plus tard dans l'année, que la limite
e = exp(1) où "exp" désigne la fonction exponentielle.

des suites (un) et (vn) n'est autre que le nombre

TS DM2 : suites adjacentes. Vers le nombre e

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G. COSTANTINI

 

c. Dans cette question,on suppose ∈
 

. Autrement dit : il existe des entiers p et q (≠ 0) tels que =

p . q

 

DM 2

SUR LES SUITES ADJACENTES, VERS LE NOMBRE e : CORRIGÉ

TS

1. Factorielle d'un entier naturel.

a. 4! = 24 ; 5! = 120 et 6! = 720. 6! = 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 2 × 3 × 4 × 5 × (2 × 3) = (2 × 4) × (3 × 3) × (5 × 2) = 8 × 9 × 10 D'où : b. (n + 1)! n !(n + 1) = =n+1 n! n!
*

6! × 7! = 7! ×8 × 9 × 10 = 10!

c. On considère la propriété ℘, définie pour k ∈

, par : 2k−1

℘(k) : k!

• Comme 1! = 1 et 21−1 = 20 = 1, on a ℘(1). Donc ℘ est initialisée au rang 1. • Montrons que ℘ est héréditaire à partir du rang 1. Soit m ∈
m! En multipliant par (m + 1), on obtient : m! × (m + 1) (m + 1)! Et comme m + 1 2: (m + 1)! (m + 1)! D'où ℘(m + 1). La propriété ℘ est donc héréditaire àpartir du rang 1. Du principe de raisonnement par récurrence, on en déduit que la propriété ℘ est vraie à tout rang k ∈ D'où le résultat. d. On a 10! = 3 628 800 et 11! = 39 916 800. L'entier recherché est n = 11.
* *

. Supposons ℘(m) :

2m−1

(m + 1)2m−1 (m + 1)2m−1 2 × 2m−1 2m

.

2. Étude d'une suite.

On considère la suite (un) définie par : un = a. u0 = 1, u1 = 2, u2 = b. Pourtout entier n ∈ 1 k! k =0
n

5 5 1 8 1 et u3 = u2 + = + = . 2 3! 2 6 3 , on a : un+1 − un = 1 >0 (n + 1)!

Donc (un) est strictement croissante sur c. (i)

.
*

On a vu (partie 1, question c) que pour tout k ∈ k!
 

:

2k−1
∗ +,

Par décroissance de la fonction t

1 sur t 1 k!

on en déduit :

1 2
k −1

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