DM 2

SUR LES SUITES ADJACENTES, VERS LE NOMBRE e

TS

1. Factorielle d'un entier naturel. Soit n ∈ . On appelle factorielle de n l'entier noté n! défini par : n! = 1 × 2 × 3 × ... × n si n Par exemple, 3! = 1 × 2 × 3 = 6. Le but de cette première partie est de se familiariser avec les factorielles. (Les quatre questions sont indépendantes) a. Calculer 4!, 5! et 6!. Démontrer que 6! × 7! = 10! (sans calculer 10! et sans utiliser de calculatrice) b. Simplifier 1 et 0! = 1

(n + 1)! . n!
*

c. Démontrer, par récurrence, que pour tout k ∈

, on a : k!

2k−1

d. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le plus petit entier n tel que : n! 107

2. Étude d'une suite.

On considère la suite (un) définie par : un =
a. Calculer u0, u1, u2 et u3. b. Démontrer que la suite (un) est strictement croissante. c. Le but de cette question est de prouver que (un) est majorée. (i) Démontrer que : n 1 k! k =0

n

un

1+

1 2 k −1 k =1
1 2 n n

(ii) Démontrer que : k =1

1 2 k −1

= 2 1−

(iii) En déduire que (un) est majorée par 3. d. En déduire que la suite (un) converge. (On ne demande pas de calculer sa limite)

3. Étude de deux suites adjacentes.

Dans cette partie, on prouve que deux suites sont adjacentes puis que leur limite est un nombre irrationnel. On considère la suite (vn) définie par :

vn = un +
La suite (un) est celle définie dans la partie 2. a. Calculer v0, v1, v2 et v3. Démontrer que la suite (vn )n

1 n!

2

est strictement décroissante.

En déduire que les suites (un )n On note leur limite commune.

2

et (vn )n

2

sont adjacentes.

b. Donner une valeur approchée, par défaut, de à 10−7 près (justifier). (On pourra utiliser la question 1.d.)

TS DM2 : suites adjacentes. Vers le nombre e

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G. COSTANTINI

(i)

Démontrer que pour tout entier n

2, on a : u n < < vn uq <

On a donc, en particulier :

p < vq q

(ii) Démontrer qu'il existe un entier a tel que :
a