Chapitre 8
Limites et comparaison des fonctions numériques On rappelle que R = R ∪ {−∞, +∞} = [−∞, +∞].

1 Limite en un point de R
1.1 Voisinages d’un point de R

Définition 1 Voisinages d’un point de R
1. Si x 0 ∈ R, on appelle voisinage de x 0 tout intervalle V ouvert et centré en x 0 , ie du type
]x0 − δ, x 0 + δ[ où δ > 0.
On définit aussi les voisinages à droite de x 0 par Vd =]x 0 , x0 + δ[, et les voisinages à gauche par Vg =]x 0 − δ, x 0 [.
Remarquons que x 0 ∈ V mais x 0 ∉ Vd et x 0 ∉ Vg .

2. On appelle voisinage de +∞, tout intervalle V ouvert du type V =]A, +∞[, avec A ∈ R.

3. On appelle voisinage de −∞, tout intervalle V ouvert du type V =] − ∞, A[, avec A ∈ R.

Proposition 2 Intersection de voisinages
Si x 0 ∈ R et si V1 et V2 sont deux voisinages de x 0 , alors V1 ∩ V2 est encore un voisinage de x 0 .
En particulier V1 ∩ V2 = .

1.2 Limite finie en un point x 0 ∈ R
Soit f une fonction définie sur un intervalle I .
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C HAPITRE 8 : Limites et comparaison des fonctions numériques

Définition 3 Limite finie à gauche en x 0
Soit x 0 un point de I , ou la borne droite de I .
On dit que f admet ℓ ∈ R pour limite à gauche en x 0 lorsque :
∃δ > 0/ ∀x ∈]x 0 − δ, x 0 [, | f (x) − ℓ| ≤ ε

∀ε > 0,

On le note lim− f (x) = ℓ, lim f (x) = ℓ, lim f = ℓ ou encore f (x) −→ ℓ.
−
<

x→x0

Dans ce cas, on pose f

<

x0

x →x0
(x 0− ) = ℓ.

x →x0

Remarquons qu’on peut avoir x 0 ∉ D f .
On peut remplacer | f (x) − ℓ| ≤ ε par | f (x) − ℓ| < ε. Mais cette dernière inégalité est équivalente à l’encadrement ℓ − ε < f (x) < ℓ + ε. On obtient donc une nouvelle écriture de la définition :
∀W voisinage de ℓ,

∃Vg voisinage à gauche de x 0 ∀x ∈ Vg , f (x) ∈ W

Exemple : lim− ⌊x⌋ = 1. x→1 Définition 4 Limite finie à droite en x 0
Soit x 0 un point de I , ou la borne gauche de I .
On dit que f admet ℓ ∈ R pour limite à droite en x 0 lorsque :
∃δ > 0/ ∀x ∈]x 0 , x0 + δ[, | f (x) − ℓ| ≤ ε

∀ε > 0,

On le note lim+ f (x) = ℓ, lim f (x) = ℓ, lim f = ℓ ou encore f (x) −→ ℓ.
+
>

x→x0

Dans