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Cinématique du point
Changement de référentiel RAPPEL DE COURS
◗ SYSTÈMES USUELS DE COORDONNÉES
• Coordonnées cartésiennes
• Coordonnées cylindriques
—➞
—➞
➞
➞
➞
➞
➞
➞
OM = r e➞r + z e➞z ; base (e➞r , e➞q , e➞z ) (doc. 2).
OM = x e x + y e y + z e z ; base (e x , e y , e z ) (doc. 1). y z

eθ

z r M

ez

z

θ

er x ez eθ M

er

ez

ey

O ex x

H

ez

y y ex

ey

O θ H

x

x
Doc. 1. Coordonnées cartésiennes (x , y , z) :
—➞
➞
➞
➞
OM = x e x + y e y + z e z .

y

eθ er r

Doc. 2. Coordonnées cylindriques (r , q , z) :
—➞ ➞ —➞ ➞
➞
OH = r e r ; OM = r e r + z e z .

—➞ ➞
➞
➞
➞
• Coordonnées sphériques : OM = r e r ; base (e r , e q , e j ) (doc. 3). z y
M

ez ex x

θ

O

z

er e ϕ er eϕ eϕ

r eθ ey

y

ϕ
H

u

Doc. 3)a. Coordonnées sphériques.

© Hachette Livre, H-Prépa Exercices, Physique, MPSI-PCSI-PTSI.
La photocopie non autorisée est un délit.

n r si

θ

M

θ

u
H

eθ r ϕ x H

u

Doc. 3)b. Plans : z = 0 et j = cte .

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MÉCANIQUE

CINÉMATIQUE DU POINT – CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL

◗ REPRÉSENTATIONS DU MOUVEMENT

vM

—➞
• La trajectoire est constituée de l’ensemble des positions successives OM (t) = ➞ r(t) du point mobile M étudié. —➞
➞
• Dans l’espace des vitesses, l’ensemble des positions successives ON (t) = v (t) constitue l’hodographe du mouvement.
—➞
—➞ —➞
• Dans l’espace des phases, le point P repéré par OP = (OM , ON ) décrit la trajectoire de phase du mobile. Pour un mouvement à un degré de liberté, le point de phase P se déplace dans le plan de phase :
—➞
OP = (x(t), v(t)).

◗ VITESSE D’UN POINT
Soit O un point fixe du référentiel ᏾ . Le vecteur vitesse de M par rapport à ce référentiel est :
—➞
dOM v➞(M)/ ᏾ = ᎏ / ᏾ dt ➞
· ➞ · ➞ ·➞
Expression
en coordonnées cartésiennes
:
v
(M)
=
•
/ ᏾ x ex + y ey + z ez .

΂

• Expression en