Classe de T5S (obligatoire et sp´cialit´) e e

22 septembre 2009

Devoir de Math´matiques N o 1 (2 heures) e
Le barˆme est approximatif. e

Exercice 1 (1,5 points) :
1. Discuter suivant les valeurs de m le nombre de racines du polynˆme o P (x) = x2 + (m − 3)x + 1 2. Pour quelles valeurs de m a-t’on 2 racine de P ?

3. D´terminer lim e

f (x) . x→−∞ x

Exercice 5 (2 points) :
Soit f (x) = x3 − 3x − 1. Montrer que f admet une unique racine α sur [−1; +1].

Exercice 2 (1,5 points) :
1 R´soudre dans R l’´quation x > . e e x

Exercice 6 (2 points) :
Soit  3 2  x − 3x + 2x f (x) = x−1  −1 si x = 1 pour x = 1

Exercice 3 (7 points) :
D´terminer les limites suivantes e x+5 en 2+ et en +∞. 1. f (x) = 2 x − 7x + 10 x2 − 2x 2. f (x) = en −∞ et en +2 . |x − 2| √ 3. f (x) = −x + x2 − 4 en −∞ et en +∞. x en −∞. 4. f (x) = 5 + 3 sin x sin(7x) en 0. 5. f (x) = 2x

La fonction f est-elle continue en 1 ?

Exercice 7 (2 points) : pour les non sp´cialistes e π Soit x ∈ [ ; π] tel que cos x = − 2 1. D´terminer sin x. e 2+ 2 √ 2 .

2. Calculer cos(2x) et en d´duire x. e

Exercice 8 (1 point) : Pour les sp´cialistes e Exercice 4 (4 points) :
Soit f (x) = x3 − 2x2 . x+1 1. D´terminer le domaine de d´finition D de f . e e 2. D´terminer lim f (x). e x→+∞ Dans la division de a par 35, le reste est 15. Combien doit-on ajouter ` a a pour que le quotient augmente de 1 et le reste diminue de 3 ?

Exercice 9 (1 point) : pour les sp´cialistes e
R´soudre x2 = 4y 2 + 3 dans Z2 . e