Chapitre p 1

Second degré et problèmes

1. Page d’ouverture

• Énigme ✱
D’après le théorème de Pythagore :
L 2.
22 = h2 + ΂ ᎏ
2΃
2
2
2
Or L = 2h, donc 2 = h + h donc 2h2 = 4, d’où h2 = 2, avec h Ͼ 0, donc h = 12.

• Énigme ✱ ✱
On note x l’âge de Julie et y celui de Paul.
Alors : x Ͼ y x–y=2 x × y = 1 599 donc x = y + 2 et (y + 2) × y = 1 599.
Or la seule façon d’écrire 1 599 comme produit de deux entiers naturels dont la différence vaut 2 est :
1 599 = 39 × 41, donc x = 41 et y = 39.
Julie a 41 ans et Paul a 39 ans.

2. Vérifier les acquis
a) Réponse D. f ^xh = 2^x2 + 10x + 25h + 6
= 2x2 + 20x + 56.
b) g ^xh = 2^x2 - 6x + 9h + 7
= 2x2 - 12x + 25.
a) La hauteur est de 25 m.
b) La largeur est de 80 m.
c) La courbe passe par l’origine du repère, la fonction f doit donc vérifier f ^0h = 0 .
Seule la fonction proposée en (B) vérifie cette condition.
a) La forme développée permet d’écrire : f ^0h = 1 # 02 + 2 # 0 - 6 = - 6 .
2
b) La forme canonique permet d’écrire : f ^- 2h =

^- 2 + 2h2

- 8 = 0 - 8 =-8.
2
c) La forme canonique permet de dire que f ^xh H - 8 ,
^x + 2h2 pour tout x, car
H 0 et que f ^- 2h = - 8 .
2
Donc – 8 est le minimum de f.
d) La forme factorisée permet d’écrire l’équation f ^xh = 0 sous la forme :
1 ^x - 2h^x + 6h = 0 .
2

D’après la règle du produit nul, on obtient deux solutions : 2 et – 6.
e) La forme canonique permet d’écrire l’équation f ^xh = 10 sous la forme :
^x + 2h2
- 8 = 10 ,
2
ce qui est successivement équivalent à :
^x + 2h2
= 18
2
^x + 2h2 = 36
^x + 2h2 - 62 = 0
^x + 2 - 6h^x + 2 + 6h = 0 x = 4 ou x = - 8 .
f) La forme canonique montre que, pour tout réel x,
^x + 2h2
^x + 2h2
- 8 avec
H 0, f ^xh H - 8 , car f ^xh =
2
2 pour tout nombre réel x.
a) Pour tout nombre réel x, x2 H 0 , donc x2 + 5 H 5 , donc x2 + 5 2 0 .
b) Pour tout nombre réel x, x2 H 0 , donc - 2x2 G 0 , donc - 2x2 - 1 G - 1 , donc - 2x2 - 1 1 0 .
c) Pour tout nombre réel x, ^x - 3h2 H 0 car un carré est positif.
^x - 3h2 est nul seulement pour x = 3 .
d) Pour tout