Densité des Nombres premiers.

En mathématiques, deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que de 2. Hormis pour la paire (2, 3), cette distance de 2 est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers. Les plus petits nombres premiers jumeaux sont 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13.
Au 15 janvier 2007, les plus grands nombres premiers jumeaux connus sont 2003663613 × 2195000±1, qui possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale et furent découverts par Éric Vautier dans le cadre des projets de calcul distribué Twin Prime Search (en) et PrimeGrid[1].
Selon la conjecture des nombres premiers jumeaux, il existe une infinité de nombres premiers jumeaux ; les observations numériques et des raisonnements heuristiques justifient la conjecture, mais aucune démonstration n'en a encore été faite.

Quelques propriétés[modifier] Le couple (2, 3) est le seul couple de nombres premiers consécutifs. En omettant le couple (2, 3), 2 est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers ; deux nombres premiers jumeaux sont ainsi deux nombres impairs consécutifs. Tout couple de nombres premiers jumeaux (à l'exception du couple (3, 5)) est de la forme (6n - 1, 6n + 1) pour un certain entier n. En effet, toute série de trois nombres entiers naturels consécutifs comporte au moins un multiple de 2 (éventuellement deux) et un seul multiple de 3 ; l'entier qui se trouve entre les deux nombres premiers jumeaux est à la fois ce multiple de 2 et ce multiple de 3, car cela ne peut pas être l'un des nombres premiers. Il est possible de démontrer que, pour tout entier m \ge 2, le couple (m, m + 2) est constitué de nombres premiers jumeaux si et seulement si 4[(m-1)! + 1] + m \equiv 0 \mod m(m+2). Cette caractérisation modulaire et factorielle des nombres premiers jumeaux, découverte par P. A. Clement en 1949[2], résulte du théorème de Wilson. Alors que la série des inverses de nombres premiers est divergente, la série des