Séquence 1
1ère partie :
Deux nouvelles fonctions

2e partie :
Géométrie plane

3e partie :
Un peu de logique

Séquence 1 – MA12

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ère 1

partie

Deux nouvelles fonctions
Sommaire
1. Pré-requis p.9 2. La fonction racine carrée p.16 3. La fonction valeur absolue p.21 4. Synthèse de la partie 1 de la séquence p.28 5. Exercices d’approfondissement p.30

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Séquence 1 – MA12

1 Pré-requis
A
Ordre dans R
Propriétés

Soient trois réels a, b et c. Si a ≤ b , alors a + c ≤ b + c .

Conséquence

Soient quatre réels a, b, c et d. Si a ≤ b et c ≤ d , alors a + c ≤ b + d . Soient a, b, c de R tels que a ≤ b .
E Si E Si

c ≥ 0 , alors ac ≤ bc , c ≤ 0 , alors ac ≥ bc .

Soient trois réels a, b et c tels que a ≤ b . a b E Si c > 0, alors ≤ . c c

Remarque

Soient a, b de R , on a : a ≤ b si et seulement si b − a ≥ 0 . Cette remarque peut être utile pour démontrer certaines inégalités. Montrer que pour tout a de R , a 2 + 1 ≥ 2a . Étudions le signe de la différence. On a : a 2 + 1 − ( 2a = a 2 − 2a + 1 = (a − 1 ≥ 0. On en déduit l’inégalité : a 2 + 1 ≥ 2a .

E

Exemple 1 Solution

( )

)

)2

Remarque

Pour résoudre algébriquement une inéquation, on peut : ramener à une inéquation du type … > 0 ou … < 0 (bien sûr les inégalités peuvent être larges : ≥ ou ≤ ) ; E tout mettre sur le même dénominateur ; E factoriser ;
E se

Séquence 1 – MA12

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E

Exemple 2 Solution

un tableau de signes. x x +1 Résoudre l’inéquation : . < x −1 x + 2 L’inéquation

E éventuellement, utiliser

x x +1 x x +1 est équivalente à < 0. De plus, on a : < − x −1 x + 2 x −1 x + 2

x x +1 x ( x + 2) ( x + 1)( x − 1) x ( x + 2) − ( x + 1)( x − 1) = = − − x − 1 x + 2 ( x − 1)( x + 2) ( x + 2)( x − 1) ( x + 2)( x − 1)
=

x 2 + 2x − ( x 2 − 1) 2x + 1 = ( x + 2)( x − 1) ( x + 2)( x − 1)

Éudions le signe des différents facteurs. La fonction a définie par a ( x ) = 2x + 1 est strictement croissante (coefficient 1 directeur 2 > 0 ) et