TS

DEVOIR SURVEILLÉ 1 (2 heures)

2003/2004

La calculatrice est autorisée. Les cinq exercices sont indépendants. Une grande part de la notation sera accordée à la rédaction et aux justifications données (plutôt qu'au résultat lui-même) Dans les exercices 3, 4 et 5, une question non démontrée peut être admise et utilisée pour les suivantes.

Exercice 1 (3 points) Dans chacun des cas, étudier la limite de la suite proposée : an = 5n3 + 2n - 4 n3 + n 2 + 1 2sin n + 3 n +1 5n - 2n 5n + 2n

bn = cn =

Exercice 2 (2 points) Démontrer par récurrence que, pour tout n Î *, on a :

å

æ n ö k = ç k÷ ç ÷ è k =1 ø k =1 n 3

å

2

Rappel :

åk = k =1

n

n ( n + 1) 2

Ou, si vous préférez : 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2

Exercice 3 (4 points) On considère la suite (un) définie par : ìu0 = 3 ï 2 í ïun +1 = 1 + u pour n Î ¥ î n 1. Démontrer que, pour tout n Î , on a : 0  un  3 2. On considère la suite (vn) définie, pour tout n Î , par : vn = Démontrer que la suite (vn) est géométrique. 3. Exprimer vn en fonction de n. En déduire la limite de la suite (vn). 4. En déduire la limite de la suite (un). un - 1 un + 2

TS DS 1

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G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

Exercice 4 (3 points) Un client dispose, au 1er janvier 2000, d'une somme de 1000 € qu'il dépose sur un compte. La banque rémunère à 5% d'intérêts annuels toutes les sommes déposées et verse ces intérêts sur le compte tous les 31 décembre de chaque année. De plus, le client décide de rajouter 950 € tous les 31 décembre de chaque année. On désigne par un (n Î ) la somme disponible après n années écoulées depuis le 1er janvier 2000, ainsi u0 = 1000. 1. Calculer u1, u2 et u3. 2. Établir, pour tout entier n Î , la relation : un+1 = 1,05 un + 950 3. Exprimer un en fonction de n. (On pourra chercher a tel que a = 1,05a + 950 et poser vn = un - a) Quel sera le capital du client après 10 années écoulées depuis le 1er janvier 2000 ?

Exercice 5 (8 points)